연속한 정수의 곱

15. 연속한 정수의 곱

⑴ 연속한 두 정수의 곱은 2의 배수 ⇔ n(n+1)=2k
⑵ 연속한 세 정수의 곱은 6의 배수 ⇔ n(n+1)(n+2)=6k
⑶ 연속한 네 정수의 곱은 24의 배수 ⇔ n(n+1)(n+2)(n+3)=24k

(연구) 1·2=2, 1·2·3=6, 1·2·3·4=24, 1·2·3·4·5=120

Problem 4-15 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

모든 정수 n 에 대하여 n³+5n은 6의 배수임을 증명 하시오.

(증명)

n³+5n=(n3-n)+6n
=n(n+1)(n-1)+6n

n(n+1)(n+2)는 연속한 세 정수의 곱이므로 6의 배수

∴ n³+5n은 6의 배수

　

모든 정수 n 에 대하여 2n³-8n은 6의 배수임을 증명 하시오.

(풀이)

2n³-8n=2n(n²-4n)은 2의 배수
2n³-8n=2n(n²-4n)
         =2n{(n²-1)-3n}
         =2n{(n+1)(n-1)-3n}
         =2n(n+1)(n-1)-6n²
n(n+1)(n-1)은 연속한 세 정수의 곱이므로 6의 배수

∴ 2n³-8n은 6의 배수
　

연속한 네 정수의 곱에 1을 더한 수는 항상 어떤 정수의 제곱이 되는 것을 증명하시오.

(증명)

n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)·(n+1)(n+2)+1
=(n²+3n)·(n²+3n+2)+1

n²+3n=t 라고 놓으면

t(t+2)+1=t²+2t+1=(t+1)²=(n²+3n+1)²

∴ 연속한 네 정수의 곱에 1을 더한 수는 항상 어떤 정수의 제곱이다. 　

모든 정수 a, b에 대하여 a³b-ab³은 항상 6의 배수 임을 증명하시오.

(증명)

a³b-ab³=ab(a²-b²)
          =ab{(a²-1)-(b²-1)}
          =ab{(a+1)(a-1)-(b+1)(b-1)}
          =b·a(a+1)(a-1)-a·b(b+1)(b-1)

a(a+1)(a-1), b(b+1)(b-1)은 연속한 세 정수의 곱이므로 6의 배수

∴ a³b-ab³은 6의 배수
　