소인수분해와 약수의 개수

13. 소인수분해와 약수의 개수

⑴ 소수(prime number) : 양의 약수가 1과 자기자신 두 개뿐인 양의 정수.
⑵ 합성수 : 소수의 곱으로 인수분해 되는 수.
⑶ 소인수분해 : 합성수를 소수의 곱으로 나타내는 것.

약수의 개수

① a^α의 양의 약수의 개수 : α+1개 → a0, a1, a2, a3, ..., aα
② a^αb^β의 양의 약수의 개수 : (α+1)(β+1) 개

Problem 4-13 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

24를 소인수분해하고 24의 모든 양의 약수를 a^αb^β의 꼴로 나타내시오.

(답) 24 = 2³·3
모든 양의 약수 : 2⁰·3⁰, 2⁰·3¹, 2¹·3⁰, 2¹·3¹, 2²·3⁰, 2²·3¹, 2³·3⁰, 2³·3¹　

ab²의 양의 약수의 총합은 (a⁰+ a¹)(b⁰+ b¹+ b²)임을 밝히고 이 결과를 이용하여 24의 양의 약수의 총합을 구하시오.

(풀이)

a⁰b⁰+ a⁰b¹+ a⁰b²+ a¹b⁰+ a¹b¹+ a¹b²= (a⁰b⁰+ a⁰b¹+ a⁰b²) + (a¹b⁰+ a¹b¹+ a¹b²)
=a⁰(b⁰+b¹+b²)+a¹(b⁰+b¹+b²)
=(a⁰+a¹)(b⁰+b¹+b²)

24=2³·3
    =(2⁰+2¹+2²+2³)(3⁰+3¹)
    =(1+2+4+8)(1+3)
    =15×4=60

60의 양의 약수의 총합을 구하시오.

(답) 168

60=2²·3·5 이므로
60의 양의 약수의 총합은
(2⁰+2¹+2²)(3⁰+3¹)(5⁰+5¹)
=(1+2+4)(1+3)(1+5)
=7×4×6=168
　

양의 약수가 6개인 양의 정수 중에서 최소인 것을 구하시오.

(답) 12

양의 약수의 개수가 6개인 양의 정수를 소인수분해하면 a⁵ 또는 a¹b² 꼴이다.

a⁵꼴의 수 중에서 가장 작은 수는 2⁵=32
a¹b²꼴의 수 중에서 가장 작은 수는 3¹2²=12

∴ 최소인 수는 12 　