(1) 나머지정리 f(x)를 x-α 로 나눌 때 나머지는 f(α) f(x)를 ax+b 로 나눌 때 나머지는 (2) 인수정리     f(α)=0  ⇔  f(x)=(x-α)Q(α)  ⇔  x-α 는 f(α)의 인수

Problem 4-12 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. f(x)=x³-x²+2x-3을 다음 x의 일차식으로 나눌 때의 나머지를 구하시오.
   
   (1) x-2
   (2) x+1 

(답) (1) 5  (2) -7

(1) f(2)=2³-2²+2·2-3=5
(2) f(-1)=(-1)³-(-1)²+2(-1)-3=-7　




2. f(x)를 ax+b (a≠0)로 나눌 때의 나머지는 임을 밝히시오.

(증명)

f(x)를 ax+b로 나눌 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R이라고 하면
f(x)=(ax+b)Q(x)+R ←  모든 x에 대하여 성립. (x의 항등식)



　




3. x⁴-x³+kx²-2kx+2가 계수가 정수인 인수로 인수분해 되도록 양의 정수 k를 정하고 이 식을 인수분해 하시오.

(답) k=-2, (x-1)(x³+2x-2)


f(x)=x4-x3+kx2-2kx+2라고 놓고 상수항 2의 약수 ±1, ±2를 대입

f(1)=-k+2=0, k=2 이 때 f(x)=(x-1)(x³+2x-2)

f(-1)=3k+4≠0 ← k는 양의 정수
f(2)=10
f(-2)=8k+26≠0 ← k는 양의 정수

∴ x+1, x-2, x+2는 f(x)의 인수가 아니다.
　




4. 다음 조건을 모두 만족하는 x의 다항식 P(x)를 구하시오.

    ㈀ P(x)를 x³+1로 나누면 몫이 x+2
    ㈁ P(x)를 x-1로 나누면 나머지가 -2
    ㈂ P(x)를 x²-x+1로 나누면 나머지가 x-6이다.

(답) x⁴+2x³-3x²+5x-7

P(x)=(x³+1)(x+2)+a(x²-x+1)+x-6
P(1)=6+a+1-6=2, a=-3

P(x)=(x³+1)(x+2)-3(x²-x+1)+x-6=x⁴+2x³-3x²+5x-7


　

Update : 2000년 01월 13일  수학선생님^®  수학교육연구^©