4. 실수의 대소관계

　


(1) ㉠ a-b>0 ⇔  a>b ㉡ a-b<0 ⇔ a<b ㉢  a-b=0 ⇔ a=b
(2) ㉠ a>b, b>c ⇒ a>c ㉡ a>b ⇒ a±c>b±c
(3) ㉠ a>b, c>0 ⇒ ac>bc ㉡ a>b, c<0 ⇒ ac<bc

     
실수는 수직선 위의 점과 1:1로 대응
큰 수    ⇔ 수직선의 오른쪽에 있는 수
작은 수 ⇔ 수직선의 왼쪽에 있는 수

Problem 3-4 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 실수는 다음과 같은 성질을 가진다.

    (i) a-b>0 ⇔  a>b
    (ii) a>0이고 b>0이면 a+b>0

    실수의 성질 i), ii)를 써서「a>b이고 b>c이면 a>c」이 성립함을 증명하시오.  

    2. (증명)

    a>b와 b>c에서 a-b>0, b-c>0 이므로 ← 성질 (i)
    (a-b)+(b-c)>0, a-c>0 ← 성질 (ii)

    ∴ a-c>0이므로 a>c 증명 끝.　



  2. a>b>c>0일 때 의 대소를 비교하시오.

    3. (풀이)  

              



  3. 다음과 성질을 갖는 실수전체의 부분집합 P가 있다.

    ㈀ 0P
    ㈁ a, b∈P이면 a+b∈P, ab∈P
    ㈂ aP이면 -a∈P

    위의 성질을 써서 다음을 증명하시오.

    (1) a-b∈P 이고 c-bP이면 a-c∈P
    (2) a-b∈P 이고 cP이면 bc-ac∈P

    4. (증명)

    (1) c-bP 이므로 -(c-b)∈P 즉 b-c∈P
         (a-b)+(b-c)∈P 에서 a-c∈P 증명 끝.

    (2) cP이므로 -c∈P
         a-b∈P이고 -c∈P이므로
         (a-b)(-c)∈P, -ac+bc∈P bc-ac∈P 증명 끝.


  4. ab>0이면 |a-b|<|a|+|b|임을 증명하시오.


    5. (증명)

    (|a|+|b|)2-(|a-b|)2

    		 =a2-2|ab|+b2-(a2+2ab+b2)
    =2(|ab|+ ab)
    =4ab>0

        ∴ (|a|+|b|)2>(|a-b|)2 이므로 |a|+|b|>|a-b| 증명 끝.
　

Update : 2000년 01월 11일  수학선생님®  수학교육연구©