3. 항등원과 역원

　


(1) 항등원 e : a*e=e*a=a
(2) a의 역원 x : a*x=x*a=e

항상 e*e=e 이므로

e의 역원은 e

㉠ 항등원을 구하는 식 a*e=a 는 a 에 대한 항등식
㉡ a 의 역원 x 를 구하는 식 a*x=e 는 x 를 구하는 방정식

Problem 3-3 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1. 연산 o을 aob=a+b+ab로 정의할 때 연산 o에 대한 항등원과 5의 역원을 구하시오. 

    2. (답)  항등원은 0, 역원은

    항등원을 e 라고 하면 모든 a 에 대하여 aoe=a
    a+e+ae=a, (1+a)e=0이 모든 a 에 대하여 성립해야 하므로 e=0

    5의 역원을 x 라고 하면 5ox=0, 5+x+5x=0에서 x=       　



  2. a*b=ab+2(a+b+1)로 정의된 연산 * 에 대하여 역원이 자기 자신인 실수 x 를 구하시오.

    3. (답) x=-1, -3

    항등원을 e라고 하면 모든 a 에 대하여 a*e=a
    ae+2(a+e+1)=a, ae+a+2e+2=0, a(e+1)+2(e+1)=0
    (e+1)(a+2)=0 이 모든 a 에 대하여 성립해야 하므로 e=-1

    x*x=-1, x2+2(2x+1)=-1, x2+4x+3=0, x=-1, -3
    　



  3. 집합 U={0,1,2,3,4,5}안에서 다음과 같이 정의된 연산 o 이 있다.

    ㉠ a+b<5이면 aob=a+b
    ㉡ a+b≥5이면 aob=a+b-5

    (1) 연산 o 에 대한 항등원 e를 구하시오.
    (2) 3 의 역원을 구하시오.
     

    4. (답)  (1) e=0   (2) 2   


  4. 정수전체의 집합 Z 안에서 정의된 연산 a*b=a+b-ab 가 있다. 연산 * 에 대한 역원이 존재하는 Z 의 원소를 모두 구하시오.

    5. (답) 0, 2

    a+e-ae=a, e(1-a)=0이 모든 a에 대하여 성립해야 하므로 e=0

    a의 역원을 x라고 하면 a+x-ax=0, (1-a)x=-a

     
    x가 정수가 되려면 분모 a-1이 1또는 -1이 되어야 하므로 a=2 또는 0
     　



　

Update : 2000년 01월 24일  수학선생님®  수학교육연구©