1. 닫혀있는 집합

　


연산 o 에 대하여 닫혀 있는 집합

a, b∈S인 모든 a, b 에 대하여
aob∈S이면 집합 S 는 연산 o 에
대하여 닫혀있다고 한다.

Problem 3-1 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

  1.  A={x| x=2n+1, n은 정수}는 곱셈에 대하여 닫혀 있음을 보이시오.

    2. (풀이)

    정수 m, n에 대하여 2m+1, 2n+1∈A
    (2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1∈A

    ∴ A 는 곱셈에 대하여 닫혀있다. 　



  2. A={a, b}가 곱셈에 대하여 닫혀 있도록 집합 A 를 정하시오. (단, a≠b)

    3. (답) {0,1}, {-1,1}

    a2, ab, b2∈A 에서

    i) a2=a 인 경우 : a=0 또는 a=1
       a=0 이면 b2=b 에서 b=1이고 이 때 A={0,1}
       a=1 이면 b2=1 또는 b2=b에서 A={0,1}또는 {1,-1}

    ii) a2=b 인 경우 : ab=a3이고 a3=a 또는 a3=a2
       a≠b 이므로 a≠0 따라서 a=-1이고 b=1

    i), ii)에서 A={0,1} 또는 {-1,1}



  3. 집합 M={a2+b2| a, b는 정수}는 곱셈에 대하여 닫혀 있음을 보이시오.

    4. (풀이)

    M에 속하는 임의의 두 원소를 a2+b2, c2+d2 (a,b,c,d는 정수)라고 하면

    (a2+b2)(c2+d2)=

    		 a2c2+a2d+b2c2+b2d2
    =(a2c2    +2abcd+b2d2)+(a2d2-2abcd+b2c2)
    =(ac+bd)2+(ad-bc)2∈M

    ∴ M은 곱셈에 대하여 닫혀있다.



  4. 집합 M={x| |x|<1} 안에서 연산 o 을 로 정의할 때 M 은 연산 o 에 대하여 닫혀 있음을 보이시오.  

    (풀이)

    a, b (|a|<1, |b|<1)라고 놓고 |aob|<1임을 보이면 된다.

         
         

    ∴ 집합 M은 연산 o에 대하여 닫혀 있다.

　

Update : 2000년 01월 11일  수학선생님®  수학교육연구©