Problem 2-7 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. a>b, c>0이면 ac>bc임을 증명하시오.  

(증명)

a-b>0, c>0이고 양수집합은 곱셈에 대하여 닫혀 있으므로 (a-b)c>0, ac-bc>0
∴ ac>bc 증명 끝.　




2. 연속인 세 홀수의 제곱의 합은 12로 나누면 11이 남는 정수임을 증명하시오.

(증명)

연속인 세 홀수를 2n-1, 2n+1, 2n+3이라고 놓으면
(2n-1)²+(2n+1)²+(2n+3)²=12n²+12n+11=12(n²+n)+11 증명 끝.　




3.   이면 를 이용하여 다음 명제가 참임을 보이시오.
   
   「ab가 3의 배수이면 a또는 b가 3의 배수」

(답)

결론을 부정하여 a와 b가 3의 배수가 아니라고 하면
a=3m±r, b=3n±s (m, n은 정수, r, s∈{1,2})라고 나타낼 수 있다.

ab=(3m+r)(3n+s)=9mn+3ms+3nr+rs
rs는 1, 2또는 4이므로 ab는 3의 배수가 아니다.
이것은 가정에 모순이므로
ab가 3의 배수이면 a또는 b가 3의 배수이다.  증명 끝. 　




4. 가 무리수임을 이용하여 가 무리수임을 증명하시오.

(증명)

 가 유리수라 하고 = a (a는 0이 아닌 유리수)로 놓으면
=a+의 양변을 제곱하면 2=2-a²
= 에서 유리수 = 무리수 가 되어 모순!

∴ 는 무리수이다. 증명 끝.

Update : 2000년 01월 27일  수학선생님^®  수학교육연구^©