8. 집합의 연산의 정의

Problem1-8 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. B^C-A^C = φ 일 때, 다음 중 항상 성립하는 것은?

   ① A = B	② A⊂B	③ A⊃B
   ④ AC⊂BC	⑤ A∪B = A

(답) ②

1) B^C-A^C = A-B
2) A-B = φ ⇔ A⊂B

☞ B^C-A^C = B^C∩(A^C)^C = B^C∩A = A∩B^C = A-B

2. 집합 A, B, C 사이에 (A∩B)∪(A-B) = A∪B 인 관계가 성립할 때 다음 중 옳은 것은?

   ① A⊂B	② A⊃B	③ A∩B = A
   ④ AC⊃BC	⑤ A∪B = B

(답) ②

1) (A∩B)∪(A-B) = A 이므로 → 그림 참조.^^
2) A = A∪B 에서 B⊂A ^^

☞ A∩B = A ⇔ A⊂B,  A∪B = A ⇔ A⊃B

3. A = {1, 3, 5, k}, B = {2x-3| x∈A} 이고 A∩B = {3,k} 일 때 k 의 값을 구하시오.
(답) k = -1 또는 7

1) B = {2x-3| x = 1,3,5,k} = {-1, 3, 7, 2k-3}
2) {1, 3, 5, k}∩{-1, 3, 7, 2k-3} = {3, k} → k = -1, 7, 2k-3
3) k = -1 이면 A = {1,3,5,-1}, B = {-1,3,7,-5} 이므로 A∩B = {3,-1} → 적합
    k = 7 이면 A = {1,3,5,7}, B = {-1,3,7,11} 이므로 A∩B = {3,7} → 적합
    k = 2k-3 이면 k = 3, A = {1,3,5}, B = {-1,3,7} 이므로 A∩B = {3} → 적합하지 않음

☞ x∈A∩B 이면 x∈A 이고 x∈B ^^



4. 집합 A, B 에 대한 연산 o 를 AoB = (A∪B)^C 라고 정의할 때, (AoB)oA 를 간단히 하시오.
(답) B-A 또는 B∩A^c

(AoB)oA = ((AoB)∪A)^C = (AoB)^C∩A^C ← De Morgan 의 법칙

= (A∪B)∩A^C = (A∪B)-A = B-A ^^

☞ De Morgan 의 법칙 → (A∪B)^C = A^C∩B^C,  (A∩B)^C = A^C∪B^C

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