7. 부분집합의 성질

1. A⊂B 과 뜻이 같은 표현

1) A-B = φ, B^C⊂A^C, B^C-A^C = φ
2) A∩B = A, A∪B = B

2. 포함관계가 있을 때의 연산(흡수법칙)

1) A⊂(A∪B) 이므로 A∩(A∪B) = A
2) A⊃(A∩B) 이므로 A∪(A∩B) = A

A⊂B 일 때, 모든 집합 C에 대하여 → (A∩C)⊂(B∩C), (A∪C)⊂(B∪C)

Problem1-7 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

다음 집합에 대한 두 등식의 뜻이 같지 않은 것은?

① A∩B=A, A∪B=B	② A-B=A, A∩B=φ	③ A-B=φ, A∩B=A
④ A∩B=φ, A∪B=U	⑤ A∪B=φ, A=B=φ

(답) ④

④ → A∩B = φ ⇔ (A∪B)^C = φ^C ⇔ A^C∪B^C = U ^^

☞ A⊂B → B^C⊂A^C, A-B = φ, B^C-A^C = φ, A∩B = A, A∪B = B

(답) {d}, {a,d}, {b,d}, {a,b,d}

1) {a,b}∪X = {a,b,d} 에서 cX 이고 d∈X
2) X⊂{a,b,c,d}, cX, d∈X 이므로 X = {d}, {a,d}, {b,d}, {a,b,d} ^^

☞ A∪B = C → A⊂C 이고 B⊂C

벤 다이어그램을 그려서 다음을 확인 하시오.

(1) A⊂B, A⊂C 이면 A⊂(B∩C)
(2) A⊃B, A⊃C 이면 A⊃(B∪C)
(3) A⊂B, C⊂D 이면 (A∩C)⊂(B∩D) 이고 (A∪C)⊂(B∪D)

(답) (1)

(2)

(3) 　

☞ A⊂B, C⊂D → (A∩C)⊂(B∩D), (A∪C)⊂(B∪D)

U={1,2,3,4,5} 의 부분집합 A, B 에 대하여 다음을 만족하는 A, B 의 조 (A,B) 의 개수를 구하시오.
(1) A∩B = φ (2) A-B = {1} (3) A∪B = U (4) A∩B ≠ φ

(답) (1) 243가지 (2) 81가지 (3) 243가지 (4) 281가지

(1)

(2)

(3)

(4) 오른쪽 그림에서, 1,2,3,4,5 를 배치하는 방법은 4⁵ = 1024 가지

A∩B = φ 이 되도록 1,2,3,4,5 를 배치하는 방법은 3⁵ = 243 가지

∴ 4⁵-3⁵= 1024-243 = 281 가지 ^^

☞ A⊂{1,2,3} 을 만족하는 집합 A 의 개수는 2³ 개 ^^