5. 공집합과 전체집합

Problem 1-5 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1.  다음 집합 중 공집합이 아닌 것은?
   
   

   ① {x| x∈A 이고 xA}	② {x| x2 = 3, x는 유리수}	③ {x| 0·x = 3, x는 실수}
   ④ {x| 3x = 0, x는 실수}	⑤ {x| x≥0, x<0}

(답) ④

④ → 3x = 0 이면 x = 0    ☞ 0·x = 3 을 만족하는 x는 존재하지 않음

☞ 공집합 → { } ⇔ φ ⇔ {x| x∈A 이고 xA} ⇔ {x| x≠x} ^^



2. 다음 중 실수전체의 집합이 아닌 것은? (단, x 는 실수)

   ① {x| |x|≥x}	② {x| 0·x≥-1}	③ {x| x2≥0}
   ④ {x| x3≥0}	⑤ {x| |x|+1≥|x+1|}

(답)　④

④ → x가 양수 또는 0 일 때만 x³≥0
①, ②, ③, ⑤ → 모든 실수 x 에 대하여 성립합니다.^^

1) 모든 실수 a 에 대하여 |a|≥a
2) 모든 실수 a, b 에 대하여 |a|+|b|≥|a+b| (등호는 a=b 일 때 성립)



3. (A-B)∪(B-A) = φ 이면 A = B 임을 밝히시오.
(증명)

1) (A-B)∪(B-A) = φ 이면 A-B = φ 이고 B-A = φ
2) A-B = φ ⇔ A⊂B,  B-A = φ ⇔ B⊂A
3) A⊂B 이고 B⊂A 이므로 A = B

☞ A∪B = φ ⇔ A = φ, B = φ




4. A = {1,2,a²-5}, B = {4,2a+8,a+4} 일 때 (A-B)∪(B-A) = φ 이 성립하도록 a 를 정하시오.
(답) a = -3


1) (A-B)∪(B-A) = φ ⇔ A = B 이므로 a²-5 = 4 → a=±3
2) a = 3 일 때, A = {1,2,4}, B = {4,11,8} 이므로 A≠B
3) a = -3 일 때, A = {1,2,4}, B = {4,2,1} 이므로 A = B    ∴ a = -3 ^^

1) A-B = φ ⇔ A⊂B
2) A⊂B 이고 B⊂A 이면 A = B

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