11. 곱집합 A×B

Problem1-11 → 문제를 누르면 풀이와 답이 나옵니다.

1. A = {1,2}, B = {1,3} 일 때 다음 집합을 각각 구하시오.

   (1) A×B           (2) B×A

(답) (1) {(1,1), (1,3), (2,1), (2,3)}   (2) {(1,1), (1,2), (3,1), (3,2)}

 1) A×B = {(x,y)| x = 1,2, y = 1,3}
 2) B×A = {(x,y)| x = 1,3, y = 1,2}

☞ A×B ≠ B×A ⇔ {(x,y)| x∈A, y∈B} ≠ {(x,y)| x∈B, y∈A}

2. A = {1,2}, B = {2,3} 일 때 집합 L = {(x,y)| x+y≤4, (x,y)∈A×B}을 구하시오.

(답) L = {(1,2), (1,3), (2,2)}

1) A×B = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3)}
2) A×B 의 원소 (x,y) 중에서 x+y≤4 를 만족하는것 → (1,2), (1,3), (2,2) ^^

☞ 위에서, n(A) = 2, n(B) = 2 이므로 n(A×B) = 4 ^^

3. A = {1,2,3}, B = {2,3} 일 때 (A×B)△(B×A) 를 구하시오.

(답) {(1,2), (1,3), (2,1), (3,1)}

1) A×B = {(x,y)| x = 1,2,3 이고 y = 2,3} = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}
2) B×A = {(x,y)| x = 2,3 이고 y = 1,2,3} = {(2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}
3) (A×B)-(B×A) = {(1,2), (1,3)} 이고 (B×A)-(A×B) = {(2,1), (3,1)} 이므로
4) (A×B)△(B×A) = {(1,2), (1,3), (2,1), (3,1)} ^^

☞ (a,b)∈A×B 이면 (b,a)∈B×A

4. A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C) 이 성립함을 밝히시오.

(증명)

 A×(B∩C) = {(x,y)| x∈A, y∈B∩C}

= {(x,y)| x∈A, y∈B, y∈C} → A∩B∩C = (A∩B)∩(A∩C)
= {(x,y)| x∈A, y∈B 이고 x∈A, y∈C}
= {(x,y)| x∈A, y∈B}∩{(x,y)| x∈A, y∈C}
= (A×B)∩(A×C)

☞ A∩B = {x| x∈A, x∈B}, A×B = {(x,y)| x∈A, y∈B}

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