삼각형의 오심
- 무게중심 G (center of gravity G)
← 삼각형의 세 중선이
만나는 점.
삼각형의 세 중선은 한 점(무게중심 G)에서 만나고 각각의 중선은 다른 것을 2:1로 내분한다.
(증명)
선분 AB, AC의
중점을 C‘, B‘ 이라 하고 BB‘과 CC‘의 교점을 G라 하면
BC//B‘C’ 이므로 ← 중점연결
정리
△GBC ∽ △GB‘C‘ 이다.
BC:B‘C’=2:1 이므로 △GBC와 △GB‘C‘의 닮음비는 2:1 이다.
따라서 대응변의 비는 GB : GB‘ = GC : GC’ = 2:1 이다.
마찬가지로 AA‘, BB’도 서로 다른 것을 2:1로 나누므로 AA‘ 도 G를 지난다.
- 내심 I (inner center I) ←
삼각형의 세 내각의 이등분선이 만나는 점. 내접원의
중심.
삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점 I 에서 만나고 I 에서 세 변에 이르는 거리는 같다.
(증명)
∠B, ∠C 의
이등분선을 I 라 하고, I 에서 세 변에 수선 IA´, IB´, IC´을
내리면 △IBC´≡△IBA´ (RHA합동)이므로 IC´=IA´ …①이다.
마찬가지로 IA´=IB´ …② 이다.
①, ② 에서 IB´=IC´ 이므로 △IAB´≡△IAC´ 이다.
따라서 ∠IAB´=∠IAC´ 이므로 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점 I 에서 만난다.
또, IA´=IB´=IC´ 이고 IA´, IB´, IC´ 는 삼각형의 세 변에 수직이므로 I 를 중심으로 하는 원은 삼각형의 세변에 접한다.
- 방심(excenter I1, I2,
I3) ← 두 외각의 이등분선이
만나는 점. 방접원의 중심.
∠B, ∠C의
외각의 이등분선의 교점을 I1 이라고 하고, I1
에서 삼각형의 세 변에 수선 I1A‘, I1B‘,
I1C‘ 이라고 하면 위의 내심에서의 증명과 같은
방법으로 I1A‘= I1B‘ = I1C‘임을
증명할 수 있다.
이 때의 I1을 중심으로 하고 I1A‘ = I1B‘ = I1C‘을 반지름으로 하는 원을 ∠A 에 대한 △ABC의 방접원이라고 한다. 또 이 때의 원의 중심 I1 을 삼각형 ABC의 ∠A 에 대한 방심이라고 한다.
☞ 삼각형의 방심은 세 개 존재합니다. ^^
- 외심 O (circumcenter O) ←
삼각형의 세 변의 수직 이등분선이 만나는 점.
삼각형의 세 변의 중심에서 각각의 변에 세운 세 개의 수선은 한 점에서 만난다.
(증명)
△ABC의 변 AB, AC의 중점 C‘, B‘에서 각 변에 세운 수선의 교점을 O라 하고 O에서 BC에 내린 수선의 발을 A‘이라 하자.
O는 AB의 수직이등분선 위의 점이므로 OA=OB, 마찬가지로 OA=OC 이므로 OB=OC 이다.
따라서 △OBC는 이등변 삼각형이고 OA‘⊥BC이므로 A‘은 BC의 중점이다.
∴ 삼각형의 세 변의 수직 이등분선은 한 점에서 만난다.
☞ O 를 중심으로 하고 OA=OB=OC 를 반지름으로 하는 원을 삼각형의 외접원이라고 합니다. ^^
- 수심 H (orthocenter H) ←
삼각형의 세 변에 그은 세 수선이 만나는 점
삼각형의 세 꼭지점에서 대변에 내린 세 수선은 한 점에서 만난다.
(증명)
삼각형 ABC의 세 꼭지점에서 대변에 평행선을 그어 삼각형 A1B1C1을 만들면 사각형 ABCB1과 ACBC1은 평행사변형 이므로 AB1=BC=C1A, 따라서 A는 B1C1의 중점이다.
마찬가지로 B, C도 C1A1, A1B1의 중점이다.
삼각형 A1B1C1의 외심을 H 라고 하면 AH, BH, CH는 세 변에 수직이므로 삼각형 ABC의 세 변에 내린 수선은 한 점 H 에서 만난다. 증명 끝.
☞ 위에서 삼각형 ABC의 수심 H 는 삼각형 A1B1C1의 외심이 됩니다. ^^