2005학년도 수능 예비평가 '나'형 15 번

함수 f(x)는 구간 [0,1]에서 연속이고 f(x)≥0이다. 다음은 직선 x=0, x=1, y=0 과 곡선 y=f(x)로 둘러싸인 영역의 넓이 S의 근사값을 컴퓨터를 활용하여 구하는 방법을 설명한 것이다.

구간 [0,1]에서 f(x)의 최대값을 c라고 하자.
점 O(0,0), A(1,0), B(1,c), C(0,1)를 꼭지점으로 하는 사각형의 내부에 임의로 찍은 점이 곡선 y=f(x) 아래에 위치할 확률은

이다. 컴퓨터를 이용하여 사각형 OABC 의 내부에 n 개의 점을 임의로 찍는다. 이때, 곡선 y=f(x) 아래에 위치하는 점의 개수를 X라 하면, X 의 확률분포는

이다. 큰 수의 법칙에 의하여

는 n이 한없이 커질 때

에 한없이 가까워진다. 그러므로 S는 근사적으로

임을 알 수 있다.

위에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

전문적인 지식을 요구하고 있습니다. 이항분포 B(n,p)와 큰 수의 법칙 등을 잘 이해하고 있어야 답을 낼 수 있습니다. ^^

풀이보기

(답) ④

사각형의 내부에 임의로 n 개의 점을 찍는 실험을 합니다. 이때 곡선 y=f(x)의 아래쪽에 찍힌 점의 개수가 X 이면 이때의 실험 성공률은 입니다.

실험 성공률 은 곡선아래부분의 넓이 S와 사각형의 넓이 c의 비와 비슷하지만 동일하지는 않습니다. 즉 ≒입니다.

그러나 실험 회수 n 이 한없이 크면 →이 되는 것이 알려져 있고, 이것을 증명도 할 수 있습니다. 이것을 큰 수의 법칙(The law of large number)이라고 합니다.

성공확률 인 실험을 n회 시행하고 이때의 확률변수를 X라고 하였으므로 확률변수 X에 대한 확률분포는 이항분포 B(n,)입니다.

이때, 곡선아래 부분의 넓이 S 는 근사적으로 c×와 같고 이 값은 실험회수 n이 크면 클수록 곡선아래부분의 실제넓이에 가까워지게 됩니다. ^^