2005학년도 수능 예비평가 '가'형 15 번

그림과 같은 곡선을 y 축의 둘레로 회전시켜서 물을 담을 수 있는 깔때기 모양의 그릇을 만들었다. 바닥으로부터 수면까지의 높이를 h 라 하면, 그릇에 찬 물의 부피 V를 h의 식으로 나타낼 수 있다. 이때, 도함수 의 그래프의 개형은? [4점]

①	②
③	④
⑤

h 를 0≤h≤r 일 때와 r≤h≤2r 일 때로 나누어 물의 부피를 구합니다. 원뿔의 부피가 원기둥의 부피의 3분의 1임을 이용합니다.^^

풀이보기

(답) ③

그릇의 모양은 오른쪽 첫번째 그림과 같습니다.

아래 첫 번째 그림

0≤h≤r 일 때는 고인 물의 부피 V = πr²h 이므로 = πr²입니다. 여기서 r 은 h와 관계없는 상수이므로 는 상수함수 입니다.

아래 두 번째 그림

r≤h≤2r 일 때는 고인 물의 부피를 밑면의 반지름과 높이가 h 인 원뿔의 부피와 밑면의 반지름과 높이가 r인 원기둥의 부피의 3분의 2의 합으로 나타낼 수 있으므로 V=(1/3)πh³+(2/3)πr³ 이 됩니다. 이때 = πh² 이므로 는 h 에 대한 이차함수가 됩니다.

따라서 이므로 정답은 3번 입니다.^^