2004학년도 수능 자연계열 10 번

z 와 w 가 복소수일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, i=이고 는 w 의 켤레 복소수이다.) [3점]

<보기> ㄱ. z =

이면 |z+w| ≤ 2|z| 이다.
ㄴ. z = iw 이면 |z-w| =

|z|이다.
ㄷ. z = -

이면 |z+w| ≤ |z|² 이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

복소수의 절대값의 정의에 의해 식을 세워 계산하거나, 복소수평면 위에서 그림을 그려놓고 생각해 볼 수 있는 문제입니다. ^^

풀이보기

(답) ③

ㄱ → w=a+bi (a, b 는 실수) 라고 놓으면 z=a-bi 이므로 |z+w|=|+w|
=|(a-bi)+(a+bi)|=2|a| 입니다. 정의에 의해 |z|=이고
항상 |a|≤인 대소관계가 성립하므로 |z+w|≤2|z|이 되어 ㄱ은 참 입니다.^^

(그림1) 에서 OM≤OP 이므로 ㄱ이 참임을 알 수 있습니다.

ㄴ → |z-w|=|iw-w|
=|(i-1)w|=|-1+i||w|에서
|-1+i|=이고 |z|=|iw|=|w|이므로 |z-w| = |z| ∴ㄴ은 참 ^^
(그림2)에서 삼각형 OPQ 는 직각이등변삼각형이고 OP : PQ = 1: 이므로 |z-w| = |z|이 성립합니다.

ㄷ → w=i 이면 z=-(-i)=i 이므로 |z+w|=|2i|=2 이고
|z|²=|i|²=1이므로 |z+w|>|z|² 이 되어 ㄷ은 거짓 ^^