2004학년도 수능 인문 자연 공통 9 번

점 P 가 가로의 길이가 1, 세로의 길이가 2 인 직사각형의 내부에서 움직이고 있다. 그림과 같이 점 P 와 각 꼭지점을 연결하였을 때 생기는 네 삼각형의 넓이를 a, b, c, d 라 하자.

행렬 의 역행렬이 존재하지 않도록 하는 점 P 의 자취의 길이는? [3점]

① 3	②	③ 2
④	⑤ 1

역행렬이 존재하지 않을 조건은 ad-bc=0, 점 P 의 자취의 방정식을 구하고자 한다면, 적극적으로 덤벼들어야 할 것 같습니다. ^^

풀이보기

(답) ②

직사각형의 넓이는 2 이고 a+c=1, b+d=1 입니다. 이 두 식과 ad-bc=0 을 만족하는 점 P 의 자취의 방정식을 구해보겠습니다.

오른쪽 그림과 같이 x 축, y 축을 잡고 점 P 의 좌표를 P(x,y) 라고 정한 다음 위의 세 식을 써서 변수 x, y 사이에 성립하는 관계식을 구하면 되겠습니다.

그림에서 a=(1/2)×2×x, b=(1/2)×1×y 이므로 x=a, y=2b 가 성립합니다.

a+c=1, b+d=1, ad-bc=0 에서 c, d 를 소거하면 a=b 가 나옵니다.

x=a, y=2b, a=b 에서 a, b 를 소거하여 y=2x 를 얻습니다. 여기서 0≤a≤1 이므로 0≤x≤1 이 됩니다. 따라서 점 P 는 오른쪽 그림의 빨간색 선분 위에 존재하고 선분의 길이는 입니다.^^