2004학년도 수능 인문 자연 예체능 공통 18 번

다음은 두 자연수 x 와 y 에 대하여 x²+xy+y² 이 10 의 배수이면
x 와 y 가 어떤 성질을 가짐을 증명한 것이다.

<증명>

N = x²+xy+y² 이라 하고 N 이 10의 배수라 하자.
N 이 10 의 배수 이므로 x, y는 모두 짝수이다.
만일 x, y 중 하나만 10의 배수이면 N은 10의 배수가 아니다.
한편, x, y 가 모두 10의 배수가 아니면 x² 또는 y²의 일의 자리의 수는 4 또는 6 이다.

(i) x²의 일의 자리의 수가 4 이고 y²의 일의 자리의 수가 6 인 경우에 x 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 2 또는 8 뿐이고, y의 일의 자리가 될 수 있는 것은 4 또는 6 뿐이다. 따라서 xy 의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 뿐이므로 N 은 10 의 배수가 아니다.

(ii) x²의 일의 자리의 수가 6 이고 y² 의 일의 자리의 수가 4 인 경우에는 (i) 의 경우와 마찬가지로 N은 10의 배수가 아니다.

(iii) x²과 y²의 일의 자리의 수가 모두 4 이거나 모두 6 인 경우에 (i)의 경우처럼 하면 xy의 일의 자리의 수가 될 수 있는 것은 뿐이므로 N 은 10 의 배수가 아니다.

따라서 x²+xy+y² 이 10 의 배수이면 10의 배수이다.

위의 빈칸 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	4 또는 6	2 또는 8	x, y는 모두
②	4 또는 6	4 또는 6	x, y 는 모두
③	2 또는 8	4 또는 6	x, y 는 모두
④	2 또는 8	2 또는 8	x, y 중 하나만
⑤	2 또는 4	6 또는 8	x, y 중 하나만

'x²+xy+y² 이 10 의 배수이면 x, y는 어떤 수인가?' 하는 문제 입다. 긴 문장으로 된 문제를 풀 때, 제시된 조건을 구체적인 식으로 나타내고 식을 보면서 생각하면 좋습니다. ^^

풀이보기

(답) ③

x, y 가 10 의 배수가 아닌 짝수이면 x, y의 일의 자리의 수는 2, 4, 6, 8 입니다.

2² = 4, 4²= 16, 6²= 36, 8²= 64 이므로 x², y² 의 일의 자리의 수는 4또는 6 입니다.

(i) x²의 일의 자리의 수가 4 → x의 일의 자리의 수는 2또는 8
y²의 일의 자리의 수가 6 → y의 일의 자리의 수는 4또는 6
∴ xy 의 일의 자리의 수는 2 또는 8 ← (가)

(iii) x², y² 의 일의 자리의 수가 4

→ x, y 의 일의 자리의 수는 2 또는 8

x², y² 의 일의 자리의 수가 6

→ x, y 의 일의 자리의 수는 4 또는 6

∴ xy 의 일의 자리의 수는 4 또는 6 ← (나)

(i), (ii), (iii) 에서 x, y 중에서 10 의 배수가 아닌 것이 있는 경우는 x²+xy+y² 이 10 의 배수가 될 수 없으므로, x²+xy+y² 이 10 의 배수이면 x, y 는 모두 10 의 배수 ← (다)