2004학년도 수능 인문 자연 예체능 공통 13 번

그림과 같이 정사각형의 네 꼭지점을 각각 1, 2, 3, 4 라고 하고 , 두 대각선의 교점을 O 라 하자. 이 정사각형을 점 O 를 중심으로 하여 시계방향으로 90° 회전시키면 1은 2의 위치로, 2는 3의 위치로, 3은 4의 위치로, 4는 1의 위치로 이동한다. 이러한 꼭지점 사이의 이동을 함수 f₁ 로 나타내면

f₁(1)=2, f₁(2)=3, f₁(3)=4, f₁(4)=1 이다.

이와 같은 방법으로 이 정사각형을 점 O 를 중심으로 하여 시계방향으로 90°, 180°, 270°, 360° 회전시켰을 때, 꼭지점 사이의 이동을 나타내는 함수를 각각 f₁, f₂, f₃, f₄ 라 하자.

<보기>에서 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, f^-1 은 f 의 역함수이다.) [3점]

<보기> ㄱ. f₂◦f₃= f₄
ㄴ. f₁^-1= f₃
ㄷ. f₁◦f₃ = f₃◦f₁

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수, 역함수, 같은 함수 및 합성함수 등 함수에 대한 여러 가지 지식을 묻고 있습니다. ^^

풀이보기

(답) ④

점을 회전이동 시켜 새로운 점에 대응시키는 문제 입니다.

시계방향 90° 회전이 함수 f₁ 이므로, 함수 f₁^-1 은 시계반대방향 90° 회전입니다. 이것은 점을 시계방향으로 270° 회전하는 것과 같으므로 f₁^-1 은 f₃ 과 같습니다. → ㄴ은 참

점을 270° 회전시킨 후 또 다시 180° 회전시키면 결과적으로 점을 90° 회전시킨 것과 같으므로 f₂◦f₃= f₁ 입니다. → ㄱ은 거짓

점을 270° 회전시킨 후 90° 회전시키면 점을 360° 회전시킨 것과 같으므로 f₁◦f₃ = f₃◦f₁= f₄ 입니다. → ㄷ은 참

참고로 ··· 함수 f₁, f₁^-1 f₂, f₃, f₄ 는 아래와 같습니다.

f₁(1)=2, f₁(2)=3, f₁(3)=4, f₁(4)=1 이므로
f₁^-1(2)=1, f₁^-1(3)=2, f₁^-1(4)=3, f₁^-1(1)=4 이고
f₂(1)=3, f₂(2)=4, f₂(3)=1, f₂(4)=2
f₃(1)=4, f₃(2)=1, f₃(3)=2, f₃(4)=3
f₄(1)=1, f₄(2)=2, f₄(3)=3, f₄(4)=4 입니다.