2004학년도 수능 예체능계열 20 번

이차방정식 x2-x+1 = 0 의 한 근을 ω 라 할 때,

ω10+ω5+1 = aω+b

를 만족시키는 a 의 값은? (단, a, b 는 실수이다.) [3점]

　
① 1 ② 2/3 ③ -1/2 ④ -1 ⑤ -2
주어진 식의 좌변의 차수가 높습니다. x2-x+1 = 0 의 한 근이 ω 이므로 ω2-ω+1 = 0 임을 이용하여 차수를 낮출 수 있습니다.^^

풀이보기

(답) ⑤

ω2-ω+1 = 0 의 양변에 ω+1 을 곱하면 ω3+1 = 0    ∴ ω3 = -1
ω10+ω5+1 = (ω3)3ω+(ω3)(ω2)+1 = -ω-ω2+1 ·····㉠
ω2-ω+1 = 0 에서 ω2 = ω-1 이고 이것을 ㉠ 에 대입하면
ω10+ω5+1=-ω-ω2+1=-ω-(ω-1)+1=-2ω+2   ∴ a=-2, b=2 ^^

관련사항

1) 방정식 f(x) = 0 의 한 근이 α ⇔ f(α) = 0
2) a, b가 실수이고 ω가 허수일 때 aω+b = cω+d 이면 a=c, b=d

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2004-07-02