2003학년도 수능 인문 자연 공통 28 번
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방정식 x3=1 의 한 허근을 ω 라고 할 때, 자연수 n 에 대하여 함수 f(n) 을 다음과 같이 정의한다.
이 때, f(1)+f(2)+f(3)+· · · +f(20) 을 구하시오. [주관식 3점] |
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1) x3=1 ⇔ x3-1=0
⇔ (x-1)(x2+x+1)=0
⇔ x=1 또는 x2+x+1=0
2) x2+x+1=0 ⇔
x=
이므로
방정식 x3=1 의
두 허근 중의 하나를 ω
라고 하면 ω3=1 이고 ω2+ω+1=0
3) ω=ω4=ω7=ω10=
···, ω2=ω5=ω8=ω11=
···, ω3=ω6=ω9=ω12=
···=1
4) f(1)=ω2/(ω+1)=-1, f(2)=ω4/(ω2+1)=-1,
f(3)=ω6/(ω3+1)=1/2
5) f(1)=f(4)=f(5)= ···, f(2)=f(5)=f(8)=
···, f(3)=f(6)=f(9)= ··· →
f(n)=f(n+3)
6) f(1)+f(2)+f(3)=-3/2, f(4)+f(5)+f(6)=-3/2,
f(7)+f(8)+f(9)=-3/2, ···
7) f(1)+f(2)+f(3)+· ·
· +f(20)={(-3/2)+(-3/2)+ ··· +(-3/2)}+(-1)+(-1)=-11
^^
관련사항
2) ω2+ω+1=ω3+ω2+ω=ω4+ω3+ω2= ··· = ωn+2+ωn+1+ωn =0 ^^