2003학년도 수능 인문 자연 예체능 공통 19 번

그림과 같이 길이가 a 인 선분 AB 를 지름으로 하는 원 위를 움직이는 점 P 가 있다. 선분 PA 와 선분 PB 의 중점을 각각 M 과 N 이라고 하면, PA²+PB² = [(가)] 이다. 따라서 AN²+BM² = [(나)] 이므로
AN×BM 의 최대값은 [(다)] 이다. 위의 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	a²	(5/4)a²	(√5/2)a²
②	a²	(5/4)a²	(5/8)a²
③	a²	(3/2)a²	(3/4)a²
④	2a²	(3/2)a²	(√5/2)a²
⑤	2a²	(5/4)a²	(5/8)a²

풀이보기

(답) ②

1) 선분 AB 가 원의 지름이므로 ∆PAB 는 직각삼각형 → PA²+PB² = a² ·····㉠
2) PA = 2PM, PB = 2PN ㉠ 에 대입하면 4PM²+4PN²= a² ⇔ PM²+PN²= a²/4 ·····㉡
3) ㉠, ㉡ 을 변끼리 더하면 (PA²+PN²)+(PB²+PM²)=(5/4)a²
4) 직각삼각형 PAN, PBM 에서 PA²+PN²=AN², PB²+PM²=BM² 이므로
AN²+BM² = (5/4)a² ∴ [(나)] = (5/4)a²
5) AN²+BM²≥2AN×BM 이므로 2AN×BM≤(5/4)a² 에서 AN×BM 의 최대값은 (5/8)a²