1≤x≤2 인 모든 실수 x 에 대하여 부등식 αx ≤ ex≤ βx 가
성립하도록 상수 α, β 를 정할 때, β-α 의 최소값은? [3점]
① e/2
② e
③ e(e3/4-1)
④ e(e3/3-1)
⑤ e(e/2-1)
풀이보기
(답) ⑤
1) f(x)=ex/x ⇔ f(x)=ex.x-1라고
놓으면
2) f′(x)=ex.x-1+ex.(-1)x-2=ex.x-2(x-1)
3) 1≤x≤2 일 때 항상 f′(x)≥0 이므로 f(x)는 1≤x≤2 에서 증가하는 함수
4) f(1)=e, f(2)=e2/2 이므로 e≤ ex/x ≤e2/2
∴ β-α 의 최소값=e2/2-e ^^
관련사항
1) (xn)′ =n.xn-1, (uv)′ = u′v+uv′ 2) a≤x≤b 일 때 항상 f′(x)≥0 이면 f(x) 의 최대값은 f(b), 최소값은 f(a)