2002학년도 수능 인문계 18 번

다음은 자연수 m, n 에 대하여 m⁴+4n 이 소수이고 m≠1, n≠1 이면 m 은 홀수 이고 n은 짝수임을 증명한 것이다.

(증명)

m 이 짝수이거나 n 이 홀수라고 가정하자.

(i) m 이 짝수이면 m=2j 꼴의 정수이고,
m⁴+4ⁿ= 4^.(4j⁴+4^n-1) 이므로 m⁴+4ⁿ 은 [(가)] 이것은 가정에 모순이므로 m 은 홀수이다.

(ii) n 이 홀수이면 n=2^k-1 꼴의 정수이다.
m⁴+4ⁿ= m⁴+4^2k-1 은 다음과 같이 인수분해 된다.
m⁴+4ⁿ= ([(나)])(m²+m2^k+2^.4^k-1)
이 수는 소수이므로 [(나)]=1 또는 m²+m2^k+2^.4^k-1=1 이다.
그런데, m²+m2^k+2^.4^k-1>1 이므로 [(나)]=1 이다.
[(나)]=([다])²⁺4^k-1=1 로부터 k=1, m=1 이다.
따라서, m=1, n=1 이다.
이것은 가정에 모순이므로 n 은 짝수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것은? [3점]

(가)	(나)	(다)
① 소수가 아니다.	m²-m^.2^k+2^.4^k-1	m-2^k-1
② 소수이다.	m²-m^.2^k+2^.4^k-1	m-2^k-1
③ 소수가 아니다.	m²-m^.2^k+1+5^.4^k-1	m-2^k
④ 소수이다.	m²-m^.2^k+1+5^.4^k-1	m-2^k
⑤ 소수가 아니다.	m²-m^.2^k+2+17^.4^k-1	m-2^k+1

풀이보기

(답) ①

1) m⁴+4ⁿ= 4^.(4j⁴+4^n-1) 는 4 의 배수이므로 (가) 에 알맞은 말은 소수가 아니다.^^
2) m⁴+4^2k-1 = (m²)²+2^2(2k-1)

= {(m²)²+2^.m^2.2^2k-1+2^2(2k-1)}-2^.m^2.2^2k-1← 2^.m^2.2^2k-1= (m^.2^k)²
= (m²+2^2k-1)²-(m^.2^k)²
= (m²+2^2k-1-m^.2^k)(m²+2^2k-1+m^.2^k)
= (m²-m^.2^k+2^.4^k-1)(m²+m^.2^k+2^.4^k-1)← 2^2k-1 = 2^.4^k-1

따라서, (나) 에 알맞은 식은 m²-m^.2^k+2•4^k-1^^

3) m²-m^.2^k+2^.4^k-1=1 ⇔ (m²-2m^.2^k-¹+4^k-1)+4^k-1=1 ⇔ (m-2^k-1)²+4^k-1=1

따라서, (다) 에 알맞은 식은 m-2^k-1^^