2002학년도 수능 인문계 15 번

다음을 만족하는 다항함수에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고르면?[3점]

f0(x)=1, f1(x)=x,
fn+1(x)=xfn(x)+fn-1(x) (n 은 자연수)

ㄱ. f2n-1(0)=0, f2n(0)=1
ㄴ. f2n-1(x) 는 기함수이고, f2n(x) 는 우함수이다.
ㄷ. f2n-1(x) 와 f2n(x) 의 항의 개수는 각각 n 개 이다.


① ㄱ ② ㄴ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

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(답) ③

모든 자연수 n 에 대하여 fn+1(x)=xfn(x)+fn-1(x) 이 성립하고 f0(x)=1, f1(x)=x 이므로

1) n=1 일 때, f2(x)=xf1(x)+f0(x)=x2+1
2) n=2 일 때, f3(x)=xf2(x)+f1(x)=x(x2+1)+x=x3+2x
3) n=3 일 때, f4(x)=xf3(x)+f2(x)=x(x3+2x)+x2+1=x4+3x2+1
4) n=4 일 때, f5(x)=xf4(x)+f3(x)=x(x4+3x2+1)+x3+2x=x5+4x3+3x
....................................................................................................................................
위에서
f2n(x)는 상수항이 1 이고 항의 개수가 2n 개인 우함수이고 f2n-1(x)는 상수항이 0 이고 항의 개수가 n 개인 기함수 입니다. 따라서 ㄱ, ㄴ은 참이고 ㄷ 은 거짓입니다.^^

☞ 이 문제에서 일반적인 fn(x) 의 식을 구하는 것은 매우 어렵습니다.^^

관련사항

1) 기함수 → 홀수차 항 만으로 이루어진 다항함수. 항상 f(-x)=-f(x) 이 성립
    우함수 → 짝수차 항 만으로 이루어진 다항함수. 항상 f(-x)=f(x) 이 성립

2) fn+1(x)=xfn(x)+fn-1(x) 에서 x=0 이면 fn+1(0)=fn-1(0) ⇔ fn(0)=fn+2(0)

ㄱ) f0(0)=1 이므로 f0(0)=f2(0)=f4(0)=…=f2n(0)=…=1
ㄴ) f1(0)=0 이므로 f1(0)=f3(0)=f5(0)=…=f2n-1(0)=…=0

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Update 2002년 01월 23일 수학선생님® 수학교육연구©