2000학년도 수능문제 계열공통 18번

다음은 4 k +3 꼴의 소수가 무수히 많음을 증명한 것이다.
(단, k 는 음이 아닌 정수이다)

(증명)

4 k +3 꼴의 소수가 유한 개 있다고 가정하고, 이것을 3, 7, 11, 19, …, p 라 하자. n = 4·(7·11·19·… ·p) + 3 이라 하면, n 은 3, 7, 11, 19, ..., p 로 [(가)]. n 의 모든 소인수는 4 k +1 또는 4 k + 3 꼴의 정수이고, 4 k +1 꼴의 두 정수를 곱하면 꼴의 정수이다. 그러므로 n 의 모든 소인수가 [(나)] 꼴이면, n 도 [(나)] 꼴이다. 이것은 모순이므로, n 은 [(다)] 꼴의 소인수 q 를 갖는다. n 은 q로 나누어 떨어지므로, q 는 3, 7, 11, 19, ...,
p 가 아닌 소수이다. 즉, 3, 7, 11, 19, …, p 가 아닌 4 k + 3 꼴의 소수가 존재한다. 이것은 가정에 모순이다.
따라서, 4 k + 3꼴의 소수는 무수히 많다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 순서대로 적으면? [2점]

① 나누어 떨어진다. 4 k +1, 4 k +1
② 나누어 떨어진다. 4 k +3, 4 k +3
③ 나누어 떨어지지 않는다. 4 k +3, 4 k +1
④ 나누어 떨어지지 않는다. 4 k +1, 4 k +1
⑤ 나누어 떨어지지 않는다. 4 k +1, 4 k +3

관찰하기

예를 들어 31 = 4·7 + 3 은 4, 7 및 3 으로 나누어지지 않습니다.
4·(7·11·19·… ·p) + 3 는 3, 7, 11, 19, … , p 로 나누어지지 않는 4k+3 꼴의 수입니다.
4·(7·11·19·… ·p) + 3 는 홀수이므로 이 수의 소인수는 모두 홀수입니다.
홀수는 4k+1, 4k+3의 두 가지 꼴이 있습니다.
(4a + 1)(4b + 1) = 4(4ab + a + b) + 1 이므로 4k+1꼴의 두 정수를 곱하면 4k+1꼴의 정수가 됩니다.

풀이보기

n = 4·(7·11·19·… ·p) + 3 은 4k+3의 꼴의 수이고 3, 7, 11, 19, … , p로 나누어지지 않습니다. 이 수는 4k+3꼴의 소인수 q를 가지므로 4k+3인 꼴의 소인수는 3, 7, 11, 19, … , p 이외에도 무수히 존재합니다.

정답 ⑤

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