2000학년도 수능문제 계열공통 17번

다음은 △ABC의 세 변의 수직이등분선이 한 점에서 만남을 증명한 것이다.

(증명)

직선 BC를 x축, 변 BC의 수직이등분선을 y축으로 잡고 A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0)이라고 하자. (단, b≠0, c>0)

(i) a ≠ c이고 a ≠ -c 일 때

직선 AC의 기울기는

이므로, 변 AC의 중점 E를 지나고 변 AC에 수직인 직선의 방정식은

같은 방법으로, 변 AB의 중점 D를 지나고 변 AB에 수직인 직선의 방정식은

두 직선 ①, ②의 y절편이 같으므로 세 변의 수직이등분선은 y축 위의 점

에서 만난다.

(ii) a = c 또는 a = -c일 때

△ABC는

이므로 세 변의 수직 이등분선은 D또는 E에서 만난다. 따라서, △ABC의 세 변의 수직이등선은 한 점에서 만난다.

위의 증명에서 (가), (나), (다) 에 알맞은 것을 순서대로 적으면?
[3점]

①

, 직각삼각형
②

, 정삼각형
③

, 이등변삼각형
④

, 이등변삼각형
⑤

, 직각삼각형

관찰하기

기울기가 m이고 점 (x₁, y₁)을 지나는 직선의 방정식은
y - y₁= m(x-x₁) 입니다.
기울기가 m 인 직선에 수직인 직선의 기울기는
A(a,b), B(c,d) 일 때

i) 선분 AB의 기울기는
ii) 선분 AB의 중점의 좌표는
iii) 선분 AB의 수직이등분선의 방정식은
삼각형 ABC의 세변의 수직이등분선이 한 점에서 만나는 것을 보이려면 두 직선 ℓ, m의 교점이 y축 위의 점임을 보인다. 즉 ℓ, m의 교점의 x좌표가 0임을 보인다.
직각삼각형의 세 변의 수직이등분선의 교점은 빗변의 중점입니다.

풀이보기

A(a,b), C(c,0)이므로 선분 AC의 수직이등분선의 방정식은 이므로 (가)와 (나)는 각각
또, a = c 이면 △ABC는 직각삼각형

정답 ①