2000학년도 수능문제 계열공통 16번

음이 아닌 정수 n 에 대하여 n 을 5 로 나눈 나머지를 f(n), 10 으로 나눈 나머지를 g(n) 이라고 하자. <보기> 중 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [3점]

<보기>
   ㄱ. f(f(n)) = f(n)
   ㄴ. g(f(n)) = g(n)
   ㄷ. f(g(n)) = f(n)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

관찰하기

n 을 5로 나눌 때의 몫을 k (k는 0또는 양의 정수) 라고 하면 나머지가 f(n) 이므로 n = 5k + f(n) 이라고 나타낼 수 있습니다.
f(n)은 n을 5로 나눌 때의 나머지이므로 f(n) = 0, 1, 2, 3, 4 입니다.
n을 10으로 나눌 때의 몫을 ℓ (ℓ은 0또는 양의 정수)이라고 놓으면, 나머지가 g(n) 이므로 n = 5ℓ + g(n) 입니다. 물론 이 때의 g(n) = 0, 1, 2, 3,… , 9 입니다.

풀이보기

f(f(n)) = f(n-5k) = f(n) 이므로 ㄱ 은 참
f(g(n)) = f(n-10ℓ) = f(n) 이므로 ㄷ은 참
예를 들어 n = 16일 때, f(n) = 1, g(n) = 6 이므로 g(f(n)) = g(1) = 1 이므로 g(f(n)) ≠ g(n) ∴ ㄴ은 거짓
정수를 정수로 나누는 나눗셈에서 나누는 수와 나머지 사이의 관계를 따져보면 위와 같은 과정을 생각하지 않아도 답을 낼 수 있는 문제입니다.

정답 ④