정적분과 무한급수
정적분의 정의
구간 [a, b]에서 연속인 함수 f(x)에 대하여, 구간 [a, b]를 n 등분하여 생긴 n+1개의 점을 각각 x0 = a, x1, x2, x3, ..., xn = b 이라 하고, x1 - x0 = x2 - x1 = x3 - x2 = ... = xn- xn-1 = Δx 라고 할 때, 극한값
을 구간 [a, b]에서의 함수 f(x)의 정적분이라 하고 기호
로 나타내기로 한다.
정적분의 뜻
여기서 f(xk) (k = 0, 1, 2, ..., n)의 값은 양수일 때도 있고 음수일 때도 있습니다. f(xk)가 양수인 경우는 f(xk)Δx는 위의 그림의 사각형 한 개의 넓이이고, f(xk)가 음수인 경우는 f(xk)Δx는 사각형의 넓이에 - 부호를 붙인 값이 됩니다. 따라서, 정적분은 넓이와 밀접한 관계가 있으나 넓이 그 자체를 뜻하는 것은 아닙니다.
예를 들어 f(x)=x2은 구간 [0, 1]에서 연속인
함수입니다. 이제 구간 [0, 1]을 n등분하면 x0 = 0, xn
= 1, 
이고 
이
됩니다. 따라서 
이므로
정적분 
은 다음과
같이 계산됩니다.
이 경우, 구간 [0,1]에서 f(x)=x2이 항상 양수 또는 0이므로
의 값은 넓이를
나타냅니다. (그림참조)
정적분으로 나타낼 수 있는 무한급수
다음과 같은 꼴의 무한급수는 
항상
정적분으로 나타낼 수 있는 무한급수 입니다.
에를 들어
은 
와
같이 나타내어 집니다. 여기서
라고
놓으면 x0 = 1, xn = 2 이고 
이므로 
과 같이
됩니다.
보기문제
다음 무한급수를 정적분으로 나타내시오.
1. 
(답) 
2. 
(답) 