넓이의 비를 구하는 문제

삼각형 ABC의 각 변 AB, BC, CA를 1 : 2로  나누는 점을 각각 D, E, F라고 한다.

선분 CD와 AE, AE와 BF, BF와 CD의 교점을 각각 P, Q, R이라 할 때, 삼각형 ABC와 삼각형 PQR의 넓이의 비를 구하시오.

• 아래 그림에서 ㄱ과 ㄴ,ㄷ과 ㄹ및 ㅁ과 ㅂ의 넓이의 비는 1 : 2입니다.

  　

점 Q와 점 C를 연결하면 삼각형 QBE와 QEC의 넓이의 비는 1 : 2 가 됩니다. 또, 약간 생각이 필요합니다만, 삼각형 QBC와 ABQ의 넓이의 비도 1 : 2임가 되는 것을 파악하는 것이 중요합니다.

따라서 삼각형 QBE의 넓이를 a 라고 하면 삼각형 ABQ의 넓이는 6a가 되고 전체 삼각형의 넓이는 21a가 됩니다. 삼각형 PQR의 넓이는 21a - (6a + 6a + 6a)=3a 이므로 삼각형  ABC와 PQR의 넓이의 비는 7 : 1 입니다.

(답)  7 : 1

• 다음 그림들을 참고하세요!