이차함수의 그래프

y = x²의 그래프

이차함수의 기본형은 y = x² 입니다. x 에 대응하는 y의 값이 x의 이차식 x²이므로 이차함수라고 하는 것이지요. ← x·x = x² (이차식), x·x·x = x³ (삼차식)

이차함수의 그래프에 대하여 생각해 보기로 합니다. 그래프는 점 (x, x²)의 집합입니다.
예를 들어 x= 2일 때, y = 2² = 4 이고, x = -2 일 때는 y = (-2)² = 4 입니다. 점 (2,4)와 점 (-2, 4)는 y축에 대하여 대칭이므로 이차함수의 그래프는 y축에 대하여 대칭입니다.

위에서 그림은 y의 값이 항상 양수 또는 0임을 나타내고 있습니다.
또, y의 값 1과 4에 대응하는 x의 값이 각각 ±1과  ± 2 임을 보이고 있습니다.

또, y 의 값 5에 대응하는  x의 값, 즉 x² = 5를 만족하는 x를  라고 나타내기로 합니다. 이 때의 x는 무리수입니다.

y = (x-1)² 의 그래프

이차함수 y = x²에서는 x = 0이면 y=0입니다. y = (x-1)² 에서는 x = 1일 때, y = 0이 됩니다.
또, y = x²에서는 x = 1일 때, y = 1이 되고 y = (x-1)² 에서는 x = 2일 때, y = 1이 됩니다.

즉, y = x²에서 x일 때의 y의 값과 y = (x-1)² 에서의 x +1 일 때의 y의 값은 같습니다.

y = (x-a)²에 x + a를 대입할 때의 y값과 y = x²에 x를 대입할 때의 y값이 같으므로 y =(x-a)²의 그래프는
y = x²의 그래프를 x방향으로 a만큼 평행이동한 그래프가 됩니다.

y = x² + 1의 그래프

y = x²+1일 때의 y값은 y = x²일 때의 y값보다 1만큼 더 큽니다.
점 (x, x²+1)의 y좌표는 점 (x, x²)의 y좌표 보다 1만큼 더 크므로 y = x² +1의 그래프는 y = x² 의 그래프보다 y좌표가 1만큼 더 큰 위치에 존재합니다.

따라서 b가 양수인 경우, y = x² + b의 그래프는 y = x² 보다 b만큼 위에 존재하는 그래프입니다.

y = (x-1)² + 2의 그래프

y = (x-1)² + 2의 y 값은 y = (x-1)²의 y값 보다 2만큼 더 큽니다. 따라서 y = (x-1)² + 2의 그래프는 y = x²의 그래프를 x방향으로 1만큼 평행이동한 다음 다시 y방향으로 2만큼 평행이동한 그래프임을 알 수 있습니다.

y = ax²의 그래프

-x² 의 값은 x²의 값과 절대값이 같으나 부호는 반대입니다. f(x) = x², g(x) = -x² 이라고 놓으면 x = 1일 때, f(1) = 1, g(1) = -1 이고 x = 2 일 때는 f(2) = 4, g(2) = -4 가 됩니다. 즉, f(x) = x²의 그래프는 점 (1, 1), (2, 4)를 지나고 g(x) = -x²의 그래프는 점 (1,-1), (2, -4)를 지납니다. 또, 모든 x에 대하여 2x²의 값은 x²의 값의 2 배입니다. 이들 그래프 위에 있는 몇 개의 점의 좌표는 다음과 같습니다.

 
y = ax²의 그래프를 x방향으로 m만큼 y방향으로 n만큼 평행이동한 그래프의 식은 y = a(x-m)² + n 이 됩니다. 이 식을 전개하면 y = ax² + bx +c 와 같은 꼴이 되는데 이것을 이차함수의 일반형이라고 합니다. 

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