이차방정식Text

예를 들어 오른 쪽 그림과 같이 길이 18cm인 끈으로 넓이 20 cm²인 직사각형 모양을 만들 때, 가로와 세로의 길이를 구하는 문제를 생각해 보기로 하지요.

직사각형의 넓이를 구하는 식은 가로×세로 = 넓이이므로 x·(9-x) = 20을 전개하여 간단히 하면 x² - 9x + 20 = 0이 됩니다. 이와 같이 좌변이 x 에 대한 이차식이고 우변이 0인 방정식을 x 에 대한 이차방정식 이라고 합니다. 여기서 좌변을 인수분해 하면 (x-4)·(x-5) = 0이 되고 이 식을 만족하는 x는 4와 5가 됩니다.

이차방정식 의 꼴 : ax² + bx +c = 0 (a≠0)
(x-α)·(x-β) = 0 의 해 : x = α, x = β

이차방정식의 풀이

이차방정식 ax² + bx +c = 0 (a≠0)의 해는 다음과 같이 세 가지 방법으로 구할 수 있습니다.

여기서는 완전 제곱식을 이용하는 방법과 근의 공식을 이용하는 방법에 대하여 만 생각해 보기로 하겠습니다.

예를 들어 2x² - 4x - 7= 0의 해를 구하는 과정은 다음과 같습니다.

위에서와 같은 방법으로 ax² + bx + c= 0 의 해를 구하여 보기로 합니다. 먼저 ax² + bx +c = 0의 양변을 a로 나누고 시작합니다.

판별식 D = b² -4ac

이차방정식 ax² + bx +c = 0 의 해를 구하는 공식

에서 √‾ 안의 식을 판별식이라고 합니다. b² -4ac = 0 이면 위의 식은

이 되어 이차방정식의 근은 한 개가 됩니다. 이 때의 근을 이중근 이라고 합니다. b² - 4ac < 0 이면

는　허수가　되어　방정식은 허수인 근을 갖게 됩니다.

D > 0이면 서로 다른 두 실근
D = 0이면 서로 같은 두 실근 (이중근)
D < 0이면 서로 다른 두 허근

이차방정식의 근과 인수분해

방정식 ax² + bx + c = 0의 좌변을 인수분해한 결과가 a(x-α)(x-β) = 0일 때, 방정식의 근은 α와 β입니다. 역으로 이차방정식 ax² + bx + c = 0의 두 근이 α, β일 때, ax² + bx + c를 인수분해하면 ax² + bx + c = a(x-α)(x-β)이 됩니다.

예를 들어 x² -4x + 5 = 0의 두 근을 구하면 2 + i 와 2 - i 이므로 x² -4x + 5을 인수분해한 결과는 x² - 4x + 5 = (x - 2 - i)(x - 2 + i) 입니다.　

ax² + bx + c = 0 의 두 근이 α, β 이면
ax² + bx + c =a(x - α)(x - β)

근과 계수의 관계

ax² + bx + c = 0 의 두 근이 α, β 이면 ax² + bx + c =a(x - α)(x - β)이 됩니다. 이 식의 양변을 a로 나누면

이 되고, 이 식의 좌변과 우변의 계수를 비교하면

가 됩니다. 따라서 방정식의 계수 a, b, c와 두 근 α, β 사이에는

인 관계가 성립함을 알 수 있습니다.

ax² + bx + c = 0 의 두 근이 α, β 일 때

두 수 α, β 를 근으로 하는 이차방정식

α, β를 두 근으로 하는 x의 이차방정식은 (x-α)(x-β) = 0 입니다. 이 식의 좌변을 전개하여 정리하면 x²- (α + β)x + αβ = 0 가 됩니다.

예를 들어 3과 -4를 두 근으로 하는 x의 이차방정식은 α + β = 3+(-4)=-1, αβ = 3×(-4)= -12에서 x² -(-1)x + (-12) = 0 즉, x² - x- 12 = 0 입니다.

α, β 을 두 근으로 하는 x 의 이차방정식

x²- (α + β)x + αβ = 0

이차방정식

이차방정식의 뜻

이차방정식의 풀이

판별식 D = b2 -4ac

이차방정식의 근과 인수분해

근과 계수의 관계

두 수 α, β 를 근으로 하는 이차방정식

판별식 D = b² -4ac