변화율

예를 들어 어느날 오전 10시에 기온이 15°C 이고, 오후 2시에는 기온이 21°C 로 높아졌다고 하면, 기온의 변화량 DT는 이고, 시간의 변화량 Dt 는 이므로 시간의 변화량 Dt 에 대한 기온의 변화량 DT의 변화율은 = 1.5°C/시간 이 됩니다. 즉 이날 기온은 평균적으로 1시간에 1.5°C 씩 상승하였다는 뜻이 됩니다. 다시 말해서 기온의 상승속도는 시간 당 1.5°C 입니다.

평균변화율

함수 y = f(x)의 값은 x에 따라 달라집니다. x가 증가할 때 y의 값은 증가하기도 하고 감소하기도 합니다. 폐구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 변화율은 x의 변화량이 Dx = b - a이고, y의 변화량이 Dy = f(b) - f(a)이므로 x에 대한 y의 변화율 은 가 됩니다.
예를 들어 f(x) = x²의 구간 [1,3]에서의 평균변화율은 입니다. 이 때의 4는 x가 1증가할 때, y는 4만큼 증가한다는 것을 나타냅니다.

순간변화율

구간 [a,b]에서 b의 값이 한없이 a 에 가까워질 때의 변화율을 f(x)의 x = a에서의 순간변화율이라고 하고 기호 f'(a)로 나타냅니다. 즉, 입니다. 마찬가지로 구간 [a,b]에서 a의 값이 한없이 b에 가까워질 때의 변화율, 즉 b에서의 순간변화율은 입니다.

순간변화율의 기하학적 의미

순간변화율 f'(a)및 f'(b)의 값은 각각 x = a 및 x = b에서 곡선에 그은 접선의 기울기를 나타냅니다. 다소 복잡한 그림이 되었습니다만 오른쪽 그림을 잘 연구하시기 바랍니다.

예를 들어 f(x) = x²의 x = 1에서의 변화율 f'(1)을 구하면 다음과 같습니다.

먼저 구간 [1,x]에서의 변화율 을 구합니다. 그런 다음 과 같이 계산하면 됩니다. 이 때의 2는 물론 x = 2 에서 곡선에 그은 접선의 기울기가 됩니다.

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