평가원 모의고사, 정수, 집합

2003년 9월 2일 시행 교육과정평가원 모의고사 인문, 자연, 예체능 공통 14번 문제 입니다.^^

자연수 n 에 대하여 n 의 약수 중에서 서로 다른 소수의 개수를 f(n) 이라 하자. 예를 들면, f(1) = 0, f(18) = 2 이다. 자연수 m, n 에 대하여 <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고르면? [3점]

<보기> ㄱ. f(n) < n
ㄴ. m ≤ n 이면 f(m) ≤ f(n) 이다.
ㄷ. f(n) = f(n²)

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ
④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

수학능력시험에 자주 출제되는 형식의 문제입니다. 이러한 유형은 문제의 뜻에 따라 f(1), f(2), f(3), ··· 을 구체적으로 구해보면 <보기>에 주어진 내용이 참인지 거짓인지를 판단할 수 있습니다. 특히 <보기>가 거짓인 경우, 이 실험의 결과로부터, 그 반례를 발견할 수 있습니다.^^

f(1) = 0 < 1 ← 1의 약수는 1
f(2) = 1 < 2 ← 2의 약수는 1, 2
f(3) = 1 < 3 ← 3의 약수는 1, 3
f(4) = 1 < 4 ← 4의 약수는 1, 2, 4
f(5) = 1 < 5 ← 5의 약수는 1, 5
f(6) = 2 < 6 ← 6의 약수는 1, 2, 3, 6
f(7) = 1 < 7 ← 7의 약수는 1, 7
f(8) = 1 < 8 ← 8의 약수는 1, 2, 4, 8
f(9) = 1 < 9 ← 9의 약수는 1, 3, 9
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1) 왼쪽의 표에서 ㄱ 은 참
2) f(6) > f(7) 이므로 ㄴ 은 거짓
3) ㄷ 은 ···

f(2) = f(2²) = 1, f(3) = f(3²) = 1, ··· 이므로 ㄷ 은 참이라고 추측할 수 있습니다. 한 걸음 더 나아가 4 와 4² 을 생각해보면 4²= 2⁴의 약수는 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴ 입니다. 이 중에서 소수는 2¹ = 2 한 개 뿐이므로 f(4) = f(4²) = 1 이 성립합니다. 따라서 ㄷ 은 참이 틀림 없습니다.^^ → 정답 ④　

n 이 세 개의 소인수를 갖는 경우를 생각해보면 ···
n = a^xb^yc^z (a, b, c 는 소수) 일 때 n² = a²^xb^2yc²^z이므로 f(n) = 3, f(n²) = 3 입니다. 따라서 모든 자연수 n 에 대하여 f(n) = f(n²) 이 성립하는 것을 알 수 있습니다. 일반적인 증명도 이와 비슷하므로 생략합니다. ^^

♧ 정리하여 둡시다.

1) 소수 (prime number) : 양의 약수가 1 과 자신 두 개뿐인 자연수
2) N = a^xb^yc^z (a, b, c 는 소수) 의 양의 약수의 개수 → (x+1)(y+1)(z+1)