교육과정평가원 주관 2003년 6월 11일 시행 모의고사 인문, 자연, 예체능 공통 10번 문제 ^^

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음이 아닌 정수 n 에 대하여 2ⁿ+1 을 3으로 나눈 나머지를 f(n) 이라 하자. <보기> 중 옳은 것을 모두 고르면?

<보기>

  ㄱ. f(4)=2
  ㄴ. n 이 홀수이면 f(n)=0
  ㄷ. n 이 짝수이면 f(f(n))=2

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1) ㄱ → 2⁴+1 = 17 → 17 을 3 으로 나눈 나머지는 2  →  f(4)=2
2) ㄴ → n=2k+1 → 2^2k+1+1 = 2×4^k+1 = 3×4^k-4^k+1 = 3×4^k-(4^k-1) 이고 4^k-1 은 3 의 배수
   ∴ n=2k+1 일 때 f(n) 은 3 의 배수 → f(n)=0
3) ㄷ → n=2k → 2^2k+1 = 4^k+1 = (4^k-1)+2 이므로 2^2k+1 을 3 으로 나누면 나머지는 2
    ∴ n=2k 일 때 f(f(n))=f(2)=2 → f(f(n))=2     ∴ ㄱ, ㄴ, ㄷ 이 모두 옳다.^^  →  (정답) ⑤

 

♧ 정리하여 둡시다.

1) x²-1 = (x-1)(x+1), x³-1=(x-1)(x²+x+1), ····· 

    xⁿ-1 = (x-1)(x^n-1+x^n-2+·····+x+1) 
2) 4ⁿ-1 = (4-1)(4^n-1+4^n-2+·····+4+1) = 3Q ← 3의 배수 ^^