오늘은 이차부등식 문제입니다.^^

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다음은 x 가 실수 값을 가지면서 변할 때 x 의 이차식 f(x) = ax²+bx+c (a, b, c 는 실수)에
대한 설명이다. 옳지 않은 것은?

 

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(답) ⑤ ^^

이차식 ax²+bx+c 를 판별식 D=b²-4ac 의 부호에 따라 D>0, D<0, D=0 인 세 종류로 나누어 생각할 수 있습니다.

예를 들면 다음과 같습니다.

1) D>0 인 이차식 → x²-3x-4 = (x-4)(x+1) ·····㉠
2) D=0 인 이차식 → x²-4x+4 = (x-2)²≥0 ·····㉡
3) D<0 인 이차식 → x²-4x+5 = (x-2)²+1>0 ·····㉢

위의 ㉡, ㉢ 에서 'D≤0 일 때는 이차식이 음수 값을 가질 수 없다.'는 것을 알 수 있습니다.
㉠ 의 경우는 ·····

x>4 일 때 x-4>0, x+1>0 이므로 (x-4)(x+1)>0,
-1<x<4 일 때 x-4<0, x+1>0 이므로 (x-4)(x+1)<0,
x<-1 일 때 x-4<0, x+1<0 이므로 (x-4)(x+1)>0 이고
x=4, x=-1 일 때 (x-4)(x+1)=0 입니다. ^^

따라서

'D>0 인 이차식은 x 의 값에 따라 양수, 음수 및 0 의 값을 가질 수 있다.'는 것을 알았습니다. ^^

♧ 정리하여 둡시다.

1) D<0 일 때 a>0 이면 모든 실수 x 에 대해서 ax²+bx+c>0  

2) D<0 일 때 a<0 이면 모든 실수 x 에 대해서 ax²+bx+c<0
3) D=0 일 때는 이차식은 a(x-α)² 꼴이 된다.

따라서 a>0 이면 항상 a(x-α)²≥0 이고 a<0 이면 항상 a(x-α)²≤0 이다.

4) D>0 일 때는 x에 따라 이차식의 값은 양수, 음수 및 0 이 될 수 있다.^^