오늘은 절대부등식 응용문제 입니다.^^

　실수 a, b, c 가 ab+bc+ca=3 을 만족할 때 다음 중 a+b+c 의 값이 될 수 없는 것은?

① 100 ② -100 ③ 99 ④ -99 ⑤ 1

1) 모든 실수 a, b, c 에 대하여 a2+b2+c2≥ab+bc+ca 가 성립한다.
2) (a+b+c)2-2(ab+bc+ca)≥ab+bc+ca ⇔ (a+b+c)2≥3(ab+bc+ca) ⇔ (a+b+c)2≥9
3) a+b+c≥3 또는 a+b+c≤-3  이므로 ····· → (답) ⑤ ^^
 

♧ 정리하여 둡시다.

☞ a, b, c 가 실수일 때 a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0 (단, 등호는 a=b=c 일 때 성립)

(증명)

a2+b2+c2-ab-bc-ca = 1/2(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)

= 1/2{(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(c2-2ca+a2)}

= 1/2{(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}≥0 ·····㉠

㉠ 에서 (a-b)2≥0, (b-c)2≥0, (c-a)2≥0 이므로 a2+b2+c2-ab-bc-ca≥0 이고, 등호는 a-b=0, b-c=0, c-a=0 ⇔ a=b=c 일 때 성립^^


　

Today's Quotation

The direction in which education starts a man will determine his future life.

-Plato -

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