오늘은 정수 증명문제 입니다. ^^

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모든 자연수 n 에 대하여 5ⁿ⁺¹+6^2n-1 은 31의 배수임을 증명하시오. 　

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1) 6(5ⁿ⁺¹+6^2n-1) = 30×5ⁿ+36ⁿ = 31×5ⁿ+(36ⁿ-5ⁿ) ·····㉠
2) 36ⁿ-5ⁿ = (36-5)(36^n-1 + 36^n-25¹ + 36^n-35² + ····· + 5^n-1) → 36ⁿ-5ⁿ = 31×Q ·····㉡
3) ㉠, ㉡ 에서 6(5ⁿ⁺¹+6^2n-1) 이 31의 배수이므로 5ⁿ⁺¹+6^2n-1 은 36의 배수이다. ^^

☞ 원래의 식에 6 을 곱하는 것이 어렵습니다. 이 문제가 만들어진 과정을 생각해보겠습니다.^^

모든 자연수 n 에 대하여 36ⁿ-5ⁿ 은 31 의 배수입니다.
이 식에 31×5ⁿ 를 더해서 31×5ⁿ+36ⁿ-5ⁿ 를 만들어도 31의 배수가 됩니다.
31×5ⁿ+36ⁿ-5ⁿ = 36ⁿ+30×5ⁿ = 6²ⁿ+6×5ⁿ 의 양변을 6 으로 나누어 6^2n-1+5ⁿ 을 얻습니다.^^

☞ 이 문제를 수학적 귀납법으로도 증명할 수 있습니다. ^^
 

♧ 정리하여 둡시다.

1) aⁿ-bⁿ = (a-b)(a^n-1+a^n-2b¹+a^n-3b²+ ····· +b^n-1)

2) 수학적귀납법의 원리

어떤 자연수 k 에 대하여 참이면 반드시 그 다음 자연수 k+1 일 때도 참이 되는 성질을 갖는 명제 p(n) 이 있을 때 p(1) 이 참이면 p(2), p(3), p(4), ····· 이 모두 참이므로 명제 p(n) 은 모든 자연수 n 에 대하여 참이다. ^^ 

　

Today's Quotation

Humility is no substitute for a good personality.

- Fran Lebowitz -

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