오늘은 나머지정리를 적용하는 항등식 문제입니다. ^^

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x¹⁰⁰ 를 x-1 로 나눌 때의 몫을 Q(x) 나머지를 R 이라 할 때 다음을 구하시오.

(1) R =
(2) Q(x) 를 x-2 로 나눌 때의 나머지
(3) Q(x) 를 x-1 로 나눌 때의 나머지

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1) x¹⁰⁰ = (x-1)Q(x)+R 에 x=1 을 대입 → 1¹⁰⁰ = 0·Q(0)+R    ∴ R = 1
2) x¹⁰⁰ = (x-1)Q(x)+R 에 x=2 를 대입 → 2¹⁰⁰ = 1·Q(2)+R    ∴ Q(2) = 2¹⁰⁰-1
3) x¹⁰⁰ = (x-1)Q(x)+1 ⇔ x¹⁰⁰-1 = (x-1)Q(x) 에서 Q(x) = x⁹⁹+x⁹⁸+x⁹⁷+·····+x+1

Q(x) 를 x-1 로 나눌 때의 나머지 Q(1) = 1⁹⁹+1⁹⁸+1⁹⁷+·····+1+1 = 101 ^^   
 

♧ 정리하여 둡시다.

1) 나머지정리 → f(x) 를 x-α 로 나눌 때 나머지는 f(α)

2) xⁿ-1 =  (x-1)(x^n-1+x^n-2+x^n-3+·····+x+1)