오늘은 집합의 원소를 찾는 문제 입니다.^^

두 조건 (i), (ii) 를 만족하는 집합 S 가 있다.

(i) 1∈S
(ii) x, y∈S 이면 반드시 (x+1)(y+1)-1∈S

다음 중 반드시 집합 S 의 원소라고 할 수 없는 것은? (단, n 은 양의 정수)

1) 조건 (i), (ii) 에 의해서 (1+1)(1+1)-1 = 2²-1 = 3∈S
2) 1∈S, 2²-1∈S → (1+1){(2²-1)+1}-1 = 2³-1 = 7∈S 
3) 2^m-1∈S 이면 조건 (i), (ii) 에 의해서 (1+1){(2^m-1)+1}-1 = 2^m+1-1∈S

2¹-1, 2²-1, 2³-1, 2⁴-1, ····· 이므로 모든 자연수 n 에 대하여 2ⁿ-1∈S

4) 자연수 n 에 대하여 2ⁿ-1∈S 이고 4ⁿ-1 = 2⁽²ⁿ⁾-1 이므로 4ⁿ-1∈S
5) 4∈S 이면 (4+1)(4+1)-1 = 5²-1 이 됩니다. 그러나 4 가 반드시 S 에 속한다는 조건이 없으므로

5ⁿ-1 이 반드시 S 의 원소라고 말할 수 없습니다. ^^