분수형의 항등식 문제, 수학능력시험에 출제 되었던 문제를 변형해 보았습니다. ^^
분모를 0 으로 하지 않는 모든 실수 x 에 대하여
이 성립할 때 다음을 구하시오.
(1)
= 
(2) a1 =
(3) a1+a2+a3
=
1) 분모≠0 인 모든 x 에 대하여
·····㉠ 이 성립 → ㉠ 은 x 에 대한 항등식
2) ㉠ 에 x=0 을 대입
→
= 
←
(답)
3) ㉠ 의 우변을 통분하면
·····㉡
㉡ 이 x 에 대한 항등식이므로 좌변과 우변의 분자는
같은(동일한) 식이다.
따라서 a1(x-2)(x-3)+a2(x-1)(x-3)+a3(x-1)(x-2)
= 1 ·····㉢ 은 x 에 대한 항등식
㉢ 에 x=1 을 대입 → a1(-1)(-2)
= 1 에서 a1 = 1/2
^^
4) ㉢ 의 좌변을 전개 → (a1+a2+a3)x2-(5a1+4a2+3a3)x+(6a1+3a2+2a3) = 1·····㉣
㉣ 의 좌변과 우변을 비교 → a1+a2+a3 = 0, 5a1+4a2+3a3 = 0, 6a1+3a2+2a3 = 1 ^^
♧ 정리하여 둡시다.
예1) (x+1)2
= x2+2x+1, (a+b)2 =
a2+2ab+b2
예2) 
위의 예2) 에서
앞의 식은 ±1 이 아닌 모든 수 x 에 대하여 성립하고,
뒤의 식은 0 이 아닌 모든 수 a, b 에
대하여 성립합니다. ^^
Today's Quotation
Science is organized knowledge. Wisdom is organized life.
- Immanuel Kant -