오늘은 방정식의 근과 관련된 문제입니다.^^
x3 =1 (x≠1) 일 때, (1-x)(1-x2) 의 값을 구하시오.
1)
x3-1 = 0 ⇔ (x-1)(x2+x+1)
= 0 ·····㉠
2) ㉠에서 x≠1 이므로 x2+x+1 = 0
3) (1-x)(1-x2) = 1-(x+x2)+x3
= 1-(-1)+1 = 3 ^^
☞ 다른 풀이 입니다.^^
1)
x3 = 1, (x2)3 = 1
(x≠1) 이므로
2) x, x2 은 방정식 x3-1 = 0
⇔ (x-1)(x2+x+1)
= 0 의 1 이 아닌 두 근
3) X2+X+1 = 0 의 두 근이 x, x2
⇔ X2+X+1 = (X-x)(X-x2)·····㉠
4) ㉠ 은 항등식 이므로 X=1 을 대입하면 (1-x)(1-x2)
= 3 ^^
☞ 위의 풀이와 같은 생각을 하면 ·····
xn
= 1 (x≠1, n 은 홀수) 일 때
항상 (1-x)(1-x2)(1-x3)·····(1-xn-1)
= n 이 되는 것을 증명할 수 있습니다.^^
♧ 정리하여 둡시다.
1) 방정식 x2+ax+b=0 ⇔
방정식 X2+aX+b=0
2) 방정식 x2+ax+b=0 의 두 근이 x1,
x2 ⇔ x2+ax+b=(x-x1)(x-x2)
Today's Quotation
The only stable state is the one in which all men are equal before the law. - Aristotle -