부등식이 있는 명제문제

오늘은 부등식이 있는 명제문제를 소개합니다.^^

다음은 p→q 꼴의 명제이다. 명제 p→q 의 '이(裏)'가 참인 것은?

① x = 3 이면 x² = 9
② a>1, b>1 이면 a+b>2, ab>1
③ ab>a+b 이면 a>2, b>2
④ a = b, c = d 이면 ac = bd
⑤ x>0, y>0 이면 x+y>0

1) 명제의 역(逆)과 이(裏) 는 서로 대우(對遇) 이므로 이가 참이면 역이 참
2) ① → {3}⊂{-3, 3} 이므로 명제는 참이고 역은 거짓

② → 명제는 참. 역은 거짓 (반례: a=5, b=0.5)
③ → 명제는 거짓 (반례: a=50, b=1.5), 역은 참 ← (정답)

④ → 명제는 참. 역은 거짓 (반례: a=1, b=2, c=4, d=2)

⑤ → 명제는 참. 역은 거짓 (반례: x=1, y=0)

☞ a>2, b>2 이면 ab>a+b 의 증명

(증명)

가정에서 a>2, b>2 ⇔ a-1>1, b-1>1 ·····㉠
㉠ 의 두 식을 변끼리 곱하면
(a-1)(b-1)>1 ⇔ ab-a-b+1>1 ⇔ ab>a+b 증명 끝.^^

♧ 정리하여 둡시다.

1) 명제 p→q 가 참 ⇔ P⊂Q ⇔ Q^C⊂P^C ⇔ 대우 ~q→~p 가 참

2) 명제 p→q 의 역 ⇔ q→p ⇔ ~p→~q ⇔ 명제 p→q 의 이