오늘은 항등원과 역원을 구하는 문제 입니다.^^

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실수 a, b 에 대하여 연산 ◎ 을 a◎b = (a+2)(b+2)+k 라고 정의 한다. 다음 물음에 답하시오.

(1) 연산 ◎ 에 대한 항등원이 존재하도록 상수 k 를 정하고 항등원 e 를 구하시오.
(2) 연산 ◎ 에 대한 a 의 역원을 구하시오.
(3) 역원이 존재하지 않는 실수집합의 원소 a 를 구하시오.

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1) 항등원을 e 라고 하면 모든 실수 a 에 대하여 항상 a◎e = e◎a = a  가 성립

 모든 a 에 대하여 항상 a◎e = e◎a 이 성립하므로 a◎e = a 를 만족하는 e 를 구하면 된다.

2)  a◎e = a ⇔ (a+2)(e+2)+k = a ⇔ ae+2a+2e+4+k = a ⇔ ae+a+2e+4+k = 0 ·····㉠

㉠ 이 모든 실수 a 에 대하여 성립해야 하므로

㉠ → (e+1)a+(2e+4+k) = 0  이 모든 실수 a 에 대하여 성립하려면 e+1=0, 2e+4+k = 0

따라서 e = -1, k = -2 ← (답)

3) a 의 역원을 x 라고 하면 a◎x = x◎a = e

 a◎x = e ⇔ (a+2)(x+2)+(-2) = -1 ⇔ ax+2a+2x+2 = -1 ⇔ (a+2)x = -2a-3 ·····㉡

㉡ 에서 a 의 역원(a≠-2) ·····㉢  ← (답)

4) ㉢ 에서 역원이 존재하지 않는 실수집합의 원소 a = -2 ← (답)
 

♧ 정리하여 둡시다.

1) 모든 a 에 대하여 항상 a◎e = e◎a = a 일 때 e 는 연산 ◎ 에 대한 항등원
2) a◎x = x◎a = e (e 는 항등원) 를 만족하는 x 가 존재하면 x 는 a 의 역원