오늘은 주어진 정수가 완전제곱수 인지 아닌지를 묻는 문제를 소개합니다.^^

1011, 1111, 12,11, 1311, ·····, 9911 은 끝의 두 자리의 숫자가 11인 90 개의 네 자리 정수이다.

이 중에서 완전제곱수는 몇 개 존재 하는가?

1) 문제에 제시된 90 개의 정수는 모두 100n+11 (n = 10, 11, 12, ·····, 99) 꼴입니다.^^
2) 100은 4 로 나누어 지는 정수이고 11은 4 로 나누면 3 이 남는 정수 입니다.
    따라서 100n+11 꼴의 정수는 모두 4 로 나누면 3 이 남는 정수 입니다. ·····㉠
3) 정수는 짝수와 홀수, 즉 2k, 2k+1 (k 는 정수) 의 두 가지 꼴로 나눌 수 있습니다.
4) 그런데 (2k)² = 4k²,  (2k+1)² = 4k²+4k+1 이므로 
    모든 정수의 제곱은 4 로 나누어지거나 4 로 나누면 1 이 남는 수 임을 알 수 있습니다.·····㉡

 ㉠, ㉡ 에서 문제에 제시된 90 개의 정수는 어느 것도 완전제곱수가 아님을 알 수 있습니다. ^^

 

2) 완전제곱수를 4 로 나눈 나머지 → 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ······