오늘은 집합의 포함관계를 묻는 응용문제를 소개합니다.^^

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전체집합 U 의 임의의 부분집합  A 에 대하여 (A∩P)∪(A^C∩Q) = (A∩P)∪Q 이 성립할 때 P 와 Q 의 포함관계를 말하시오. 

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오른 쪽 그림은 두 집합 P, Q 이 일반적인 위치에 있을 때, (A∩P)∪(A^C∪Q) ≠ (A∩P)∪Q 임을 보이고 있습니다.

주어진 등식이 모든 A 에 대하여 성립하므로 A = U 일 때도 등식이 성립해야 합니다.

(U∩P)∪(U^C∩Q) = (U∩P)∪Q
⇔ P∪(φ∩Q) = P∪Q
⇔ P = P∪Q ⇔ P⊃Q 이 됩니다.

그림을 그려보면, Q⊂P 인 경우 임의의 집합 A 에 대하여
(A∩P)∪(A^C∩Q) = (A∩P)∪Q 이 성립하는 것을 확인할 수 있습니다.^^

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참고로 Q⊂P 이면 임의의 A 에 대하여 (A∩P)∪(A^C∩Q) = (A∩P)∪Q 이 성립하는 것을 증명해 보겠습니다.^^

(증명)

(A∩P)∪Q = (A∩P)∪((Q∩A)∪(Q-A)) = ((A∩P)∪(A∩Q))∪(Q-A)

= (A∩(P∪Q))∪(Q-A) = (A∩P)∪(Q∩A^C) ← Q⊂P ⇔ P∪Q = Q

 ∴ Q⊂P 이면  (A∩P)∪(A^C∩Q) = (A∩P)∪Q ^^

♧ 정리하여 둡시다.

1) 모든 A 에 대하여 (A∪B) = (A∪C) 이면 B = C

2)  P 가 정해진 어떤 집합일 때
    모든 A 에 대하여 (A∩P)∪B = (A∩P)∪C 이면 B = C