오늘은 절대값과 관련된 절대부등식 문제 입니다. ^^

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실수 x, y 에 대하여 |x+y| < |x| + |y| 이 성립할 필요충분조건을 구하시오.

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두 조건이 뜻이 같을 때 서로 필요충분조건이라고 말합니다. ^^
예를 들어, a 가 실수일 때  a²>0 와 a≠0 은 뜻이 같으므로 서로 필요충분조건 입니다.

이 문제를 해결하기 위해서 먼저

모든 실수 x, y 에 대하여 |x+y| ≤ |x|+|y| ·····㉠ 이 성립하는 것을 알아야 하겠습니다.
이 때 등호는 xy≥0 일 때 성립하고 부등호는 xy<0 일 때만 성립합니다.^^

예를 들면

a=-2, a=-3 일 때는 |(-2)+(-3)| = |-2|+|-3|,
a=-2, a=3 일 때는 |(-2)+3| < |-2|+|3| 이고
a=-2, a=0 일 때는 |(-2)+0| = |-2|+|0| 입니다.

따라서 |x+y| < |x| + |y| 는 xy<0 과 뜻이 같은 조건입니다.
즉 |x+y| < |x| + |y| ⇔ xy<0 이므로 필요충분조건은 xy<0 입니다.^^ 

(㉠ 의 증명)

 |x+y|² - (|x| + |y|)² = (x+y)² - (|x|²+2|x||y|+|y|²)

= (x² + 2xy + y²) - (x²+2|xy|+y²)
= 2(xy-|xy|)≤0 ← |a|≥a (등호는 a≥0 일 때 성립)

두 양수 가 |x+y|² ≤ (|x| + |y|)² 를 만족하므로 |x+y| ≤ |x|+|y| ^^

 

♧ 정리하여 둡시다.

1) 모든 실수 a 에 대하여 |a|≥a (등호는 a≥0 일 때)

2)  a, b 가 양수일 때  a² > b² ⇔ a>b

3) |a|² = a², |a+b|² = (a+b)² = a²+2ab+b² ^^