부분집합의 개수

오늘은 부분집합의 개수와 관련된 방정식 문제를 소개합니다.^^

　집합 A의 원소의 개수를 n(A), 부분집합의 개수를 |A| 라고 나타내기로 한다.
n(A)=10, |A|+|B|=|A∪B| 일 때 n(A∩B) 를 구하시오.

n(B)=b , n(A∩B)=x 라고 하면 n(A∪B) = 10+b-x 이므로
|A|+|B|=|A∪B| ⇔ 2¹⁰+2^b= 2^10+b-x ·····㉠
㉠ 의 양변을 2^b 으로 나누면 2^10-b+1 = 2^10-x ·····㉡
㉡ 의 좌변은 1보다 큰 수 이고 우변이 2 의 배수 이므로 2^10-^b = 1 이 되어야 한다.
2^10-b+1 = 2^10-x ⇔ 2 = 2^10-x 에서 10-x = 1 ⇔ x = 9 이므로 n(A∩B) = 1^^

♧ 정리하여 둡시다.

1) n(A∪B) = n(A)+n(B)-n(A∩B)
2) n(A) = a 일 때, A 의 부분집합의 개수는 2^a

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Today's Quotation

Art is the desire of a man to express himself, to record the reactions of his personality to the world he lives in.

-Amy Lowell -