오늘은  연산에 대하여 닫혀 있는 집합과 관련된 문제를 소개합니다.^^

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1 을 제외한 모든 실수를 포함한 집합 S 가 있다. 연산 o 을 xoy = xy+ax+by+c 라고 정의한다.
집합 S 가 연산에 대하여 닫혀 있을 때, 상수 a, b, c 를 구하시오.

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집합 S가 연산 o 에 대하여 닫혀 있으므로 x∈S, y∈S 인 모든 x, y 에 대하여 xoy∈S 이다.

즉 x≠1, y≠1 인 모든 실수 x, y 에 대하여 xoy 는 반드시 1 이 아닌 실수가 되어야 한다.

　

(x≠1, y≠1 이면 xoy≠1) ⇔ (xoy=1 이면 x=1 또는 y=1) 이므로
xy+ax+by+c = 1 이면 반드시 x=1 또는 y=1 이 되어야 한다.

xy+ax+by+c = 1 ⇔ x(y+a)+by+c-1=0 ⇔ x(y+a)+b(y+a)-ab+c-1 = 0
  ⇔ (x+b)(y+a) = ab-c+1 ⇔ x=1 또는 y=1 ⇔ (x-1)(y-1) = 0 이므로

　

a=-1, b=-1, ab-c+1=0 이다.    ∴ a=-1, b=-1, c=2 ^^ 
 

♧ 정리하여 둡시다.

1) 집합 S가  연산 o 에 대하여 닫혀있다.

⇔ x∈S, y∈S 인 모든 x, y 에 대하여 xoy∈S 이다.

2) (p 이면 q) ⇔ (~q 이면 ~p) → 명제와 그 대우는 뜻이 같다.