어려운 문제

실수 집합에서 실수집합으로의 함수 f 에 대하여

A={x| f(x)=x}, B={x| f(f(x))=x}, C={x| f(f(x))=f(x)} 가 있다.

다음 중 옳지 않은 것은?

① A⊂B ② A⊂C ③ B⊂C ④ (B∩C)⊂A ⑤ A=C

약간 어려운 문제^^ 여기서 f(x)=x, f(f(x))=x, f(f(x))=f(x) 는 x 를 구하는 방정식입니다.
따라서 A, B, C 는 그 해집합입니다.^^

①, ② → x∈A 이면 f(x)=x 이므로 f(f(x))=x 가 성립합니다. 따라서 x∈B 이므로 A⊂B 입니다.

마찬가지로 생각하면 A⊂C 임을 알 수 있습니다.

③ → x∈B 이면 f(f(x))=x 이지만 반드시 f(f(x))=f(x) 라고 할 수 없습니다. ∴ B⊂C 는 거짓입니다.

④ → x∈(B∩C) 이면 x∈B 이고 x∈C 이므로 f(f(x))=x 이고 f(f(x))=f(x) 이므로 f(x)=x 가 성립.

즉, x∈(B∩C) 이면 x∈A 이므로 (B∩C)⊂A 는 참 입니다.

⑤ → A∪B=B 이므로 C⊂(A∪B) ⇔ C⊂B 이고 (B∩C)⊂A 이므로 C⊂A 가 됩니다.

② 에서 A⊂C 이므로 A=C 는 참 입니다.^^