복소수

복소수평면

복소수 z = a+bi (a, b는 실수) 를 순서쌍 P(a,b) 에 대응시킬 때, 이 순서쌍을 나타내는 평면을 복소수평면이라고 합니다. 이 때 선분 OP 의 길이를 복소수 z 의 절대값이라 하고 로 나타내기로 합니다. 즉 z = a+bi 일 때, 이 되는 것이지요. 예를 들어 복소수 -3+4i 의 절대값은 |-3+4i| = = 5 입니다.

좌표 P(rcosθ,rsinθ )

오른쪽 그림에서 선분 OP 의 길이가 r 이고 OP 가 x 축의 양의 방향과 이루는 각이 θ 일 때, 점 P 의 좌표가
P(rcosθ, rsinθ) 인 것을 이해하는 것은 매우 중요합니다.

일반각의 삼각함수의 정의 보기

z = x+yi 에 대응하는 점 P(x,y) 에서 원점까지의 거리가 = r 이고 와 x 축의 양의 방향과 이루는 각이 θ 일 때, 점 P 의 x, y 좌표는 x = rcosθ, y = rsinθ 이므로 z = rcosθ + (rsinθ)i
즉, z = r(cosθ + isinθ) 이 됩니다.

 극형식

z = r(cosθ + isinθ) 와 같은 꼴의 복소수를 극형식이라고 말합니다. 예를 들어  복소평면 위의 점 에 대응하는 복소수 z 의 극형식은 이고 가 x 축의 양의 방향과 이루는 각이 150° 이므로 z = 2(cos150° + isin150°) 가 됩니다.

 z 의 절대값 |z|와 편각 arg z

z = r(cosθ + isinθ) 일 때 r 을 z 의 절대값, θ 를 z 의 편각이라고 하고 |z| = r, arg z = θ 라고 나타내기로 합니다. 예를 들면 z = 2(cos120°+ isin120°) 에서 |z| =2, arg z = 120° 입니다.

복소수의 곱셈과 나눗셈

두 복소수 z₁, z₂ 가  z₁ = r₁·(cosθ₁ + isinθ₁), z₂ = r₂(cosθ₂ + isinθ₂) 일 때, 복소수의 곱셈과 나눗셈은 다음과 같습니다.

1) 곱셈

z₁·z₂ = r₁r₂·(cosθ₁ + isinθ₁)·(cosθ₂ + isinθ₂) 를 전개하여 간단히 하면
z₁·z₂ = r₁r₂·{cos(θ₁+θ₂) + isin(θ₁+θ₂)} 이 되고, 여기서 |z₁·z₂| = r₁·r₂ 이고 arg (z₁·z₂) = θ₁+θ₂ 이므로 r₁ = |z₁|, r₂ = |z₂| 및 θ₁ = arg z₁ , θ₂ = arg z₂ 에서 |z₁·z₂| = |z₁|·|z₂| 및  arg (z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂ 가 성립합니다.

2) 나눗셈

을 간단히 하면 이 됩니다.
위에서와 마찬가지로
복소수 z₁, z₂, 의 절대값과 편각 사이에는  , arg= arg z₁-arg z₂  인 관계가 성립합니다.

삼각함수의 덧셈정리 보기

드 므아브르(De Moivre)의 정리

복소수의 거듭제곱을 계산할 때 De Moivre의 정리를 쓰면 편리합니다.

위의 계산에서 n 이 양의 정수일 때. 항상 (cosθ+isinθ)ⁿ = cosnθ + isinnθ 이 성립한다는 것을 알 수 있습니다. 또한 이 식은 모든 실수 n 에 대하여도 성립한다는 것이 증명되어 있습니다.

예를 들면

입니다.

이항방정식

좌변과 우변에 각각 항이 한 개씩, 모두 두 개의 항이 있는 zⁿ = a 와 같은 꼴의 방정식을 이항방정식이라고 합니다.

예를 들어, 삼차항과 상수항을 가진 이항방정식 z³ = -1 의 해를 구해보기로 하겠습니다.

z 를 r(cosθ+isinθ) 라고 놓으면, -1 = 1·(cos180°+isin180°) 이므로

{r(cosθ + isinθ)³ = 1·(cos180° + isin180°)
r³(cos3θ + isin3θ) = 1·(cos180° + isin180°) 에서

r³ = 1, 3θ = 360n+180° (r > 0, n = 0,1,2) 이 됩니다.
따라서, r = 1, θ = 120n+60° 에서 θ = 60°, 180°, 300° 이고, 이 때의 z 는 cos60°+isin60°, cos180°+isin180°, cos300°+isin300° 이므로, 삼차방정식 z³ = -1 의 해는 , -1, 가 됩니다.


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